Ändert sich die Bahn des Schwerpunkts zweier Planeten in einem Sonnensystem vor und nach der Kollision?

Widerlegung durch Gegenbeispiel: Stellen Sie sich zwei Planeten gleicher Masse vor, die sich auf derselben kreisförmigen Umlaufbahn um die Sonne bewegen, jedoch in entgegengesetzte Richtungen (nehmen Sie an, dass sie sich in der Vergangenheit aufgrund einer winzigen Abweichung von der Kongruenz verpasst haben). Dann bewegt sich ihr Massenschwerpunkt auf einer Linie durch die Sonne hin und her, sinusförmig als Funktion der Zeit.

Nun kollidieren sie zufällig, sodass der Massenschwerpunkt zunächst im Inertialsystem stehenbleibt. Doch anstatt sich ewig sinusförmig fortzubewegen, fällt der Massenmittelpunkt des neuen Planeten in die (formale) gravitative Singularität der Sonne. Dies ist ein einmaliges Ereignis, und es wird nicht einmal im Entferntesten durch eine sinusförmige Zeitfunktion beschrieben (zunächst ist es ungefähr ein freier Fall bei einer bestimmten Erdbeschleunigung, aber dieser g-Faktor nimmt zu, wenn sich das CM der Sonne nähert).

Im Allgemeinen gilt die lineare Impulserhaltung nur für Systeme, die keiner äußeren Kraft (in diesem Fall der Gravitationskraft der Sonne) ausgesetzt sind.

Verläuft der Schwerpunkt zweier Planeten vor und nach einer Kollision zweier Planeten in einem Sonnensystem immer gleich?

Die Frage, die ich leicht beantworten kann , ist die, die in „zwei Schurkenplaneten im interstellaren Raum“ endet, und die Antwort lautet: „Wie kann es nicht immer denselben Kurs verfolgen?“. Es gibt eine Kollision, und der Impuls muss erhalten bleiben.

Ist es möglich, die Erhaltung des linearen Impulses zu verwenden, obwohl auf irgendeine Weise eine äußere Kraft auf den Planeten wirkt?

Ich bin mir ziemlich sicher, dass hier der Teil "in einem Sonnensystem" in Ihrer Frage ins Spiel kommt. Wenn zwei Planeten in einem Sonnensystem kollidieren, können Sie kurzfristig die Auswirkungen der Sonnenanziehungskraft ignorieren (wenn ich beispielsweise richtig rechne, ist die Erdbeschleunigung aufgrund der Sonnenanziehung unter$6\cdot10^{-3}\ \mathrm {m/s^2}$). Wie kurz "kurzfristig" ist, hängt davon ab, was Sie wissen möchten, aber im Fall von etwas in der Erdumlaufbahn wird der Geschwindigkeitsunterschied nach einem Tag gerecht sein$490 \mathrm{m/s}$, was wahrscheinlich vernachlässigbar ist *.

Wenn Sie wissen wollten, wie der Nachkollisionseffekt für einen signifikanten Bruchteil der Umlaufzeit nach der Kollision zweier Planeten aussehen würde, dann ja, die Schwerkraft würde einen großen Unterschied machen, und da die beteiligten Differentialgleichungen nichtlinear und mehrkörperig sind, Ich würde vermuten, dass Sie eine Bazillion Kollisionen simulieren und sehen müssten, was passiert ist, anstatt es nur mit Bleistift und Papier herauszufinden.

* Obwohl dieser Wert etwa 1000-mal größer ist als mein vorbearbeiteter Wert, ist er angesichts der Größen und Geschwindigkeiten immer noch vernachlässigbar. Das behaupte ich jedenfalls.

Die kurzen Antworten auf die ursprüngliche Frage sind nein (Titelfrage), ja und ja : Grundsätzlich folgt das CM der ursprünglichen Flugbahn und es gilt die Impulserhaltung. Aber die Frage und die anderen Antworten sprechen nicht direkt das wichtigste Element dieses Problems an: In der Orbitalmechanik ist das Gravitationsfeld nicht einheitlich und daher gelten die Annahmen, die das CM zu einem nützlichen Konzept machen, nicht mehr allgemein, obwohl sie in der gelten werden großer Kollisionsbereich.

Das CM ist kein nützliches Konzept, wenn das Feld nicht einheitlich ist, und daher gilt das CM nicht für die meisten Orbitalmechaniken. Für die Kollision gilt dann das CM zum Zeitpunkt der Kollision, aber lange davor und lange danach, wenn sich die Objekte in unterschiedlichen Feldern befinden, ist das Konzept des CM nicht sinnvoll. Daher treten bei einer Kollision zwischen zwei Planeten im Weltraum die beiden Planeten in ihre Bahnen vor der Kollision ein, wobei Bahnen verwendet werden, die keinen Bezug zu einem nützlichen CM-Konzept haben. Wenn sie sich nähern, beginnen sie, ein einheitlicheres Feld zu betreten, in dem das CM jetzt relevant wird, und wenn sie nach der Kollision aneinander haften bleiben, wird diese CM-Trajektorie unmittelbar vor der Kollision die Trajektorie nach der Kollision sein und eine langfristige Trajektorie festlegen des neuen Planeten .

Die Erhaltung des Impulses ist hier ein nützliches Konzept (und viel mehr als ein Kommentator impliziert hat, dass es nicht nützlich ist, weil es eine angewandte Kraft gibt). Denken Sie zunächst an „Impulserhaltung“ als Ergebnis von$F = 0$in der Gleichung$F = dp/dt$, also bleibt der Impuls erhalten, wenn keine Kraft wirkt. Eine Idee des CM ist jedoch, dass das CM bei einem einheitlichen Feld einer Bahn folgt, als wäre es eine einzelne Masse, unabhängig von den inneren Kräften und der Dynamik, und was häufig passiert, ist, dass die inneren Kräfte zu einer Dynamik führen, die trennbar ist aus der CM-Trajektorie. Dies hinterlässt im Wesentlichen zwei getrennte Probleme: die CM-Trajektorie und die internen Trajektorien relativ zur CM. Dies ist beispielsweise bei Kollisionen und Explosionen der Fall, bei denen etwas in der Luft explodiert, wobei die Bewegung der Teile unter Verwendung der Impulserhaltung relativ zum CM berechnet werden kann. Das heißt, wenn keine inneren Kräfte vorhanden sind, bleibt der Impuls relativ zur Bewegung des CM erhalten. Und es ist auch nützlich, z. B. bei Massen und Federn, oder vielleicht mit Planeten und den inneren Gravitationskräften der Planeten. Das ist das Schöne am CM. Und dies ist auch im Weltraum relevant, solange die CM relevant ist, was lange Zeit dauern wird, da die Teilchen lange Zeit brauchen werden, um aus einem Teil des Weltraums mit ausreichend unterschiedlicher Gravitation herauszudriften (oder dort angekommen zu sein). Feld, um das CM nicht relevant zu machen. Wenn die Felder unterschiedlich sind, kann das CM immer noch berechnet werden, aber es liefert nichts Brauchbares mehr.

(Wie beim Lesen dieser Antwort wahrscheinlich offensichtlich ist, ist die Annahme in der Bearbeitung der Frage, die besagt: "Also ist die Bahn des Massenschwerpunkts der beiden Planeten eine Ellipse." Dies ist im Allgemeinen nicht der Fall, da die Gravitationsfelder bei Objekten im Orbit sind unterschiedlich.Betrachten Sie zum Beispiel Merkur und Neptun, wo sich Neptun befindet$300\times$die Masse des Merkur. Das CM davon wird im Grunde Neptuns Umlaufbahn mit einem kleinen und schnellen Wackeln sein, das von Merkur erzeugt wird – also keine Ellipse. Das heißt, für die meisten Kollisionen von Planeten ist das CM in der Nähe der Kollision sehr nützlich, aber lange vor oder lange nach der Kollision nicht nützlich, da sich die Planeten zu diesen Zeiten im Allgemeinen in unterschiedlichen Gravitationsfeldern befinden. Wobei dies für Steine ​​im Gravitationsfeld der Erde der Fall ist: Die CM wird immer gelten und die CM zweier Objekte, die auf Parabeln folgen, wird auch eine Parabel sein. )

Im radialen Feld des Sterns befindet sich der Schwerpunkt des Zwei-Planeten-Systems nicht an derselben Stelle wie der Massenschwerpunkt. Eine Umordnung der Massenverteilung wird wahrscheinlich eine Änderung der Umlaufbahn bewirken, der der Schwerpunkt folgt (unter Beibehaltung des Drehimpulses).

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