Satellitenkollisionsproblem

Wenn ich keine einfache Möglichkeit vermisse, dieses Problem zu lösen, scheint es überraschend schwierig zu sein. Dieses Diagramm zeigt das Problem (ich habe die Höhe des Satelliten übertrieben, um das Diagramm klarer zu machen):

Die Satelliten befinden sich in einem Abstand auf kreisförmigen Umlaufbahnen (gepunktete Linie).$r$vom Erdmittelpunkt, also ihre Umlaufgeschwindigkeit als (wie Sie sagen):

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

Angenommen, die beiden Satelliten haften aneinander, wenn sie kollidieren, und Sie erhalten am Ende eine einzelne 500-kg-Masse aus verdrehtem Metall, die sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit bewegt$v'$das ist weniger als$v$. Die neue Umlaufbahn wird eine Ellipse sein, und die Frage ist, ob die neue Umlaufbahn die Erdoberfläche schneidet. Wenn die neue Umlaufbahn die Erde nicht schneidet, werden die verschmolzenen Satelliten weiter umkreisen, während, wenn die neue Umlaufbahn die Erde schneidet, die Trümmer offensichtlich auf die Erde stürzen werden.

Der erste Schritt besteht darin, v' zu berechnen, und dies geschieht einfach durch Impulserhaltung. Im Moment vor der Kollision ist der Schwung des 400kg schweren Satelliten$400v$und der Schwung des 100 kg schweren Satelliten ist$-100v$(Ich nehme Geschwindigkeit positiv nach rechts). Nach dem Aufprall ist der Schwung des Wracks$500v'$, So:

$$400v - 100v = 500 v'$$

und wir bekommen:

$$v' = \frac{3}{5}v \tag{1}$$

Der harte Teil arbeitet die neue Umlaufbahn aus. Dazu müssen Sie mit der Vis-Viva-Gleichung beginnen und mit etwas Kopfkratzen können Sie die Gleichung für die Perigäumsentfernung ($r_p$im Diagramm):

$$r_p = \frac{r_a}{\frac{2GM}{v'^2r_a} - 1}$$

Die Frage ist dann nur ob$r_p$ist kleiner als der Radius der Erde.

Du weisst$v'$aus Gleichung (1) und$r_a$ist nur der anfängliche Orbitalradius (gemessen vom Erdmittelpunkt). Die Berechnung überlasse ich Ihnen$r_p$und beantworte die Frage.

Einführung eines Nebenproblems zu dieser Frage:

Verwenden$v$für die Bahngeschwindigkeit bei$1000$km Höhe ist die gesamte kinetische Energie der beiden Satelliten kurz vor der Kollision

$$KE_{\text{Before}}=\frac12400v^2+\frac12100v^2=250v^2$$ und unter Verwendung der Endgeschwindigkeit von John Rennie oben ist die gesamte kinetische Energie der kombinierten Satelliten unmittelbar nach der Kollision: $$KE_{\text{After}}=\frac12500\left(\frac35v\right)^2=90v^2$$ Der $160 v^2$Joule an verlorener Energie wird als Wärme über die verteilt $500 \text{ kg}$Satellit. So wird jedes Kilogramm absorbiert $0.320v^2$Joule Energie.

Die Umlaufgeschwindigkeit in einer Höhe von$1000\text{ km}$über der Erdoberfläche liegt$7.35\text{ km/sec}$, also muss jedes Kilogramm des kombinierten Satelliten 17,27 Megajoule Energie absorbieren.

Wenn wir davon ausgehen, dass die beiden Satelliten aus Aluminium bestehen, bedeutet dies eine Temperaturerhöhung von ca$19, 000 \text{ Kelvin}$. Selbst wenn wir davon ausgehen, dass die beiden Satelliten die gleiche hohe spezifische Wärme wie Wasser haben, erhalten wir eine Temperaturerhöhung von über$4, 100 \text{ Kelvin}$

Wir müssen hier einige Annahmen treffen, da Ihre gestellte Frage etwas unvollständig ist.

1) Kollision ist unelastisch
2) Satelliten lösen sich bei Kollision nicht auf (siehe die interessante Beobachtung von user58220 )
3) es gibt keine Atmosphäre (also ist Luftwiderstand kein Problem - mal sehen, ob die Satelliten in einer Umlaufbahn über der Planetenoberfläche landen)
4 ) Sie sagten "Absturz in die Erde", also nehme ich R = 6400 km an. Der Wert von R spielt eine Rolle

Nach der Kollision ist die kombinierte Geschwindigkeit der beiden Satelliten (mit Anfangsgeschwindigkeit$v$) ist durch Impulserhaltung gegeben:

$$(m_1 + m_2) v_{final} = m_1 v_{initial} - m_2 v_{initial}\\ v_{final} = v_{initial}\frac{300}{500}$$

Sie haben jetzt Satelliten am Apogäum einer elliptischen Umlaufbahn, und sie nähern sich der Erde bis zu ihrem nächsten Punkt, dem Perigäum. Nehmen wir an, dass der radiale Abstand am Apogäum war$R+h_a$, und am Perigäum$R + h_p$.

Aus der Bahnmechanik wissen wir, dass es eine Beziehung zwischen der großen Halbachse der Bahn und der Bahnenergie gibt:

$$-\frac{\mu}{2a}=\epsilon\tag1$$

Wir wissen, dass die Orbitalenergie durch die Kollision abgenommen hat: Die kinetische Energie war vorher

$$KE=\frac12(m_1 + m_2)v^2$$

und danach ist es

$$KE = \frac12\left(\frac{3}{5}\right)^2(m_1 + m_2)v^2$$

Auf einer kreisförmigen Umlaufbahn ist die kinetische Energie gleich minus der Hälfte der potentiellen Energie; nach dem Stoß ist die potentielle Energie unverändert (zum Zeitpunkt des Stoßes), während die kinetische Energie abgenommen hat. So

$$\begin{align}\epsilon_{before}&=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}\\ &= KE_{before} - 2 KE_{before}\\ &= -KE_{before}\end{align}\tag2$$

Die kinetische Energie danach ist$\frac{9}{25}^{th}$der kinetischen Energie vor, so können wir schreiben

$$\begin{align}\\ \epsilon_{after} &= (\frac{9}{25}-2)KE_{before}\\ &= -\frac{41}{25}KE_{before}\\ \end{align}\tag3$$

Die Kombination der Gleichungen (1), (2) und (3) ergibt das Verhältnis der Hauptachsen:

$$\begin{align}\\ \frac{a_{before}}{a_{after}}&=\frac{\epsilon_{after}}{\epsilon_{before}}\\ &=\frac{25}{41}\\ \end{align}$$

Für die Kreisbahn können wir das sagen$a=2r_a$, während es für die elliptische Umlaufbahn ist$r_a+r_p$. Jetzt haben wir also

$$\frac{2r_a}{r_a+r_p}=\frac{41}{25}$$

Mit ein wenig Umstellen ergibt sich das

$$r_p = \frac{9}{41}r_a$$

Wenn also der Radius der Erde etwa 6400 km beträgt und Sie 1000 km über der Oberfläche umkreisen, werden Sie mit Sicherheit abstürzen. Der größte Planet, auf dem diese Kollision nicht zu einer Beendigung der Umlaufbahn führen würde, hat einen Radius von

$$r_{max}=9\frac{1000}{32}=281 km$$

Mein Rat - lass sie nicht kollidieren ...

Ich kann nur davon ausgehen, dass angenommen wird, dass sich die Satelliten frontal (und nicht in einem Winkel) treffen, und dass die Kollision als unelastisch modelliert wird (und nicht als eine explosive Kollision, bei der Teile überall herumfliegen).

Wenn ja, haben Sie die Geschwindigkeit von jedem und die Masse von jedem. Sie können die Impulserhaltung verwenden, um die neue Geschwindigkeit des Objekts mit kombinierter Masse am Apogäum zu finden.

Kennen Sie die Vis-Viva-Gleichung? Sie können dies dann verwenden, um andere spezifische Punkte in der Umlaufbahn zu finden. Es wird einen weiteren Punkt in der Umlaufbahn geben, den Sie finden möchten.

R wird immer vom Mittelpunkt der Erde sein. Allerdings müssen Sie den Radius der Erdoberfläche berücksichtigen. Weißt du, warum?

Also nach ein bisschen Recherche bin ich auf diese Antwort gekommen. Wie ich bereits sagte, wissen wir, dass im Orbit die Masse der Satelliten keine Rolle spielt, um die Geschwindigkeit zu finden. also wenn wir verwenden:

$$v = \sqrt{GM/R}$$ Da M die Masse der Erde ist, kann ich die Endgeschwindigkeit beider Satelliten nach dem Vergleich finden. $$Vf = (m2v2 - m1v1)/ (m1 + m2)$$ Ich kam auf 4407,87 m/s

Wenn ich diese Endgeschwindigkeit auf die erste Gleichung zurückführe und versuche, r zu bekommen, kann ich es mit ra vergleichen, und wenn r kleiner ist, bedeutet dies, dass es auf der Erde abstürzen wird.

$$r = GM / Vf^2$$

Ich finde also, dass r demnach 4527 m beträgt, es wird definitiv auf die Erde stürzen. weil die ursprüngliche Ra 7378,1 km betrug

Gehe ich richtig davon aus?