Umlaufgeschwindigkeit für eine Kreisbahn?

Ich denke, das sind zwei getrennte Fragen, die getrennt angegangen werden sollten.

1) „Warum nicht$m$in der ersten Gleichung?“ Die Masse eines Körpers ändert die auf ihn wirkende Kraft. Aber die Masse eines Körpers ändert auch seine Beschleunigung. Wenn Sie die Masse eines Objekts erhöhen, spürt es eine größere Kraft, aber es ist auch schwieriger bewegen Die Gleichung für die Gravitationskraft lautet$F = \displaystyle GmM/{r^2}$, während die Beschleunigungsgleichung lautet$a = F/m$. Kleben Sie zwei zusammen und Sie erhalten$a = GM/r^2$.

2) "Warum ist$m$in der zweiten Gleichung?“ Denken Sie an den Mond und die Erde. Die Erde zieht am Mond, aber der Mond zieht auch an der Erde! Die beiden Körper kreisen tatsächlich um ihren gemeinsamen Massenmittelpunkt. Das ist wichtig für die Relativierung Geschwindigkeit: Wir müssen die Umlaufgeschwindigkeit der Erde zur Umlaufgeschwindigkeit des Mondes addieren$m$Begriff.

Die Relativgeschwindigkeit auf einer Kreisbahn ist tatsächlich:$v_\text{rel} = \sqrt{ \dfrac{G(m_1+m_2) }{ r_\text{rel}} }$

Die Relativgeschwindigkeit ist die Summe der baryzentrischen Geschwindigkeit jedes Körpers (die Geschwindigkeit jedes Körpers in Bezug auf den Trägheitsschwerpunkt):

Ähnlich,$r_\text{rel}$ist die relative Trennung der beiden Körper.

Wo$r_1$Und$r_2$sind die Abstände jedes Körpers von seinem gemeinsamen Massenmittelpunkt

Die Relativgeschwindigkeit ist auch gegeben durch:

Die baryzentrische Geschwindigkeit von Körper 2 ist dann:

Dies ist die tatsächliche Geschwindigkeit des Körpers 2 im Inertialsystem des Schwerpunkts.

Die erste Gleichung ist eine sehr gute Annäherung, da m (Masse des Satelliten) << M (Masse der Erde), so dass m ignoriert werden kann. Die zweite Gleichung ist die mathematisch korrekte.