Keplers erstes Gesetz; mathematische Denkweise

Ich habe Keplers erstes Gesetz der Planetenbewegung:

(1) R = P 1 + ϵ cos ⁡ ( θ ) .

Jetzt für ϵ Ich habe:

(,) 0 < ϵ = 1 + 2 ⋅ η ⋅ H 2 μ 2 < 1

weil es eine Ellipse ist.

Jetzt für μ :

(3) μ = G ⋅ M ,

und für η :

(4) η = − μ 2 A ,

Wo A = R Mindest + R max 2 .

Fragen:

  1. Für die Umlaufbahn der Erde um die Sonne, welche Masse ( M ) soll ich die Masse der Sonne oder die Masse der Erde wählen?
  2. Was ist H in der Gleichung für ϵ und wie finde ich den Wert dafür?
  3. Was sind die Werte von R Mindest Und R max ?

Antworten (1)

  1. M steht für die Masse der Sonne.

  2. H ist der Drehimpuls. Es ist definiert als H → = R → × P → , Wo P → ist der lineare Impuls. Für zentrale Kräfte (wie die Gravitation) ist es erhalten und senkrecht zur Umlaufbahnebene. Wenn Sie also die Geschwindigkeit kennen v → des Planeten sowie dessen Radiusvektor R → Irgendwann kennen Sie den Drehimpuls überall in der Umlaufbahn. Sie können seine Größe auch aus dem zweiten Kepler-Gesetz berechnen, wenn Sie die Fläche kennen A und Periode T der Umlaufbahn. Sie sind verwandt als

    A = H T 2 M ,
    Wo M ist die Masse des Planeten.

  3. R M ich N Und R M A X sind die minimale und maximale Entfernung vom Planeten zur Sonne. Es kann berechnet werden

    R ± = R 0 1 ± 1 − E E 0 ,
    wobei sich das Vorzeichen Plus (Minus) auf den minimalen (maximalen) Abstand bezieht. Die Konstante E ist die mechanische Energie des Planeten. Es ist ein freier Parameter, Sie können die Exzentrizität der Umlaufbahn in Bezug darauf schreiben,
    ϵ = 1 − E E 0 .
    Die Konstante E 0 ist die kleinste Energie, die eine Umlaufbahn haben kann (Kreisbewegung),
    E 0 = − G 2 M 2 M 3 2 H 2 .
    Endlich die Konstante R 0 ist der Radius der Kreisbahn,
    R 0 = H 2 G M M 2 .

Erstmal danke für deine Antwort. Wie kann ich finden R 0 , E Und E 0 ? Und was ist R 0
Und was sind A Und T für Werte?
@treq Bitte schauen Sie noch einmal nach, ich habe Ihre Kommentare in der Antwort beantwortet.
Ok danke! Aber was meinst du mit "freien Parametern"? Zweitens, was ist A ? Dritte ist T die Anzahl der Sekunden in einem Jahr?
Das bedeutet, dass Sie die Energie angeben müssen und für jeden ihrer Werte erhalten Sie die Umlaufbahn. Die Geometrie der Umlaufbahn wird als Funktion der Energie betrachtet. Die Variable A ist die Fläche der Ellipse.
Oke, was ist das für eine Energiefunktion?
@treq Wie ich sehe, hast du einige Probleme mit den Konzepten. Es gibt einige gute Bücher, die dieses Thema auf einer freundlichen Ebene angreifen. Zum Beispiel leisten Klepner und Kolenkow – Eine Einführung in die Mechanik und Knudsen und Hjorth – Elemente der Newtonschen Mechanik gute Arbeit.
Sehr gute Antwort. Ich habe Kleppener und Kolenkow's an zweiter Stelle verwendet, ich habe es dieses Jahr für meinen Mechanikunterricht verwendet.
Genau genommen ist M die Masse der Sonne plus der Masse der Erde. In der Praxis führt dies in Bezug auf die Umlaufbahn der Erde um die Sonne zu einem Fehler in der fünften oder sechsten Dezimalstelle. OTOH, da die Masse des Mondes etwa das 0,0123-fache der Masse der Erde beträgt, führt das Ignorieren der Masse des Mondes bei der Berechnung der mittleren Bewegung zu einem Fehler von vier Stunden bei der Berechnung der Umlaufdauer des Mondes um die Erde.
@DavidHammen Ja, das stimmt. Und M ist die reduzierte Masse. Ich denke, wenn man über Keplers Gesetz spricht, wie es ursprünglich gesagt wurde, um die Bewegung der Planeten um die Sonne zu beschreiben, können solche Details gut vernachlässigt werden. Natürlich ist das bei dem Zweikörperproblem im Allgemeinen nicht akzeptabel. Danke trotzdem für den Hinweis!
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