Keplers 3. Gesetz angewendet auf binäre Systeme: Wie können die beiden Bahnen unterschiedliche große Halbachsen haben?

Keplers drittes Gesetz nimmt eine etwas andere Form an, wenn Sie die Bewegung um den Massenmittelpunkt betrachten. Die Bewegungsgleichungen sind

$$\begin{align} m_1\ddot{\boldsymbol{r}}_1 &= - \frac{Gm_1m_2}{|\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2|^3}\left(\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2\right),\\ m_2\ddot{\boldsymbol{r}}_2 &= \frac{Gm_1m_2}{|\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2|^3}\left(\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2\right).\\ \end{align}$$ Wenn Sie die relative Bewegung eines Himmelskörpers in Bezug auf den anderen beschreiben möchten, können Sie diese Gleichungen kombinieren, um zu erhalten $$\ddot{\boldsymbol{r}}_1 - \ddot{\boldsymbol{r}}_2 = - \frac{G(m_1+m_2)}{|\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2|^3}\left(\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2\right),$$ oder kurz $$\ddot{\boldsymbol{r}} = - \frac{\mu}{r^3}\boldsymbol{r},$$ Wo $\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2$Und $\mu =G(m_1+m_2)$. Dies ist das bekannte Kepler-Problem mit dem entsprechenden 3. Kepler-Gesetz $$T^2 = \frac{4\pi^2}{\mu}a^3.$$ Will man dagegen die Bewegung beider Himmelskörper in Bezug auf den Massenmittelpunkt beschreiben, muss man trennen $\boldsymbol{r}_1$Und $\boldsymbol{r}_2$in den Bewegungsgleichungen. Sie können dies tun, indem Sie die Tatsache ausnutzen, dass die Position des Massenschwerpunkts konstant bleibt $$m_1\boldsymbol{r}_1 + m_2\boldsymbol{r}_2 = \boldsymbol{0},\tag{1}$$ so dass $$\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2 = \frac{m_1+m_2}{m_2}\boldsymbol{r}_1 = -\frac{m_1+m_2}{m_1}\boldsymbol{r}_2.$$ Deshalb, $$\begin{align} m_1\ddot{\boldsymbol{r}}_1 &= -Gm_1m_2\left(\frac{m_2^3}{(m_1+m_2)^3r^3_1}\right)\left(\frac{m_1+m_2}{m_2}\boldsymbol{r}_1\right),\\ m_2\ddot{\boldsymbol{r}}_2 &= Gm_1m_2\left(\frac{m_1^3}{(m_1+m_2)^3r^3_2}\right)\left(-\frac{m_1+m_2}{m_1}\boldsymbol{r}_2\right), \end{align}$$ oder $$\begin{align} \ddot{\boldsymbol{r}}_1 = -\frac{\mu_1}{r^3_1}\boldsymbol{r}_1,\qquad\text{and}\qquad \ddot{\boldsymbol{r}}_2 = -\frac{\mu_2}{r^3_2}\boldsymbol{r}_2, \end{align}$$ mit $$\mu_1 = \frac{Gm_2^3}{(m_1+m_2)^2},\qquad\text{and}\qquad \mu_2 = \frac{Gm_1^3}{(m_1+m_2)^2}.$$ Wir haben also wieder zwei Kepler-Probleme, aber dieses Mal nehmen die 3. Gesetze die Form an $$T^2 = \frac{4\pi^2}{\mu_1}a_1^3,\qquad\text{and}\qquad T^2 = \frac{4\pi^2}{\mu_2}a_2^3.$$ Beachten Sie, dass dies impliziert $\mu_2a_1^3 = \mu_1a_2^3$, was vereinfacht zu $m_1a_1 = m_2a_2$, konsistent mit Gl. (1). Auch, $\mu_1 a = \mu a_1$Und $\mu_2 a = \mu a_2$führen zu $m_2 a = (m_1+m_2)a_1$Und $m_1 a = (m_1+m_2)a_2$, also in der Tat $a = a_1+a_2$.

Bewegt sich beispielsweise Stern 1 auf einer Ellipse mit großer Halbachse$a$, dann sollte die Periode der Umlaufbahn von Stern 1 durch das dritte Keplersche Gesetz gegeben sein,

$$\begin{align} {T_1}^2 = \frac{4\pi {a_1}^3}{G(m_1 + m_2)}. \end{align}$$ Dasselbe gilt für Stern 2: $$\begin{align} {T_2}^2 = \frac{4\pi {a_2}^3}{G(m_1 + m_2)}. \end{align}$$

Kleines Problem: Ihnen fehlt ein Faktor von$\pi$: Du solltest haben$T^2 = (2\pi)^2 \frac {a^3}{G(m_1+m_2)}$.

Das ist ein kleines Problem. Das Hauptproblem: Die große Halbachse in diesem Ausdruck ist nicht die große Halbachse der Umlaufbahn um den Massenmittelpunkt. Es ist stattdessen die große Halbachse eines Objekts über einem anderen, wobei das andere Objekt fixiert ist, und es spielt keine Rolle, welches Objekt Sie zur Fixierung auswählen. Angenommen, eines der Objekte ist eine Erbse und das andere ein Riese mit zehn Sonnenmassen. Sie können die Erbse so betrachten, dass sie den Stern umkreist, der Stern die Erbse umkreist oder beide so betrachten, dass sie ihren gemeinsamen Massenmittelpunkt umkreisen.

Wie auch immer Sie es tun, Sie erhalten eine Ellipse. Die Mathematik wird viel einfacher, wenn Sie den Stern so betrachten, als würde er die Erbse umkreisen (oder äquivalent, wenn Sie die Erbse so betrachten, als würde sie den Stern umkreisen). Die Mathematik wird erheblich chaotischer (aber immer noch durchaus machbar), wenn Sie jede um den Massenmittelpunkt kreisen sehen. Sie haben implizit den Weg gewählt, der die unordentlichere Mathematik erfordert. Sie machen diese unordentliche Mathematik nicht richtig, und daher Ihr offensichtliches Dilemma.

Sie haben einfach Ihre Definitionen falsch in Ihrer Anwendung von Keplers drittem Gesetz. In dem Fall, wo die Massen beider Körper betrachtet werden, dann$a$ist nicht die große Halbachse jeder Umlaufbahn, sondern die Summe der großen Halbachsen der beiden Körper (und ist daher in beiden Gleichungen gleich).

$$a = a_1 + a_2$$ $$m_1 a_1 = m_2 a_2$$ $$T^2 =\frac{4\pi^2}{G(m_1+m_2)} a^3$$