Was ist ein effektives Potential in der klassischen Mechanik?

Es ist nicht notwendig, das effektive Potential in die Orbitalmechanik einzuführen, aber es ist wirklich nützlich.

Nehmen wir an, wir haben ein Teilchen, das sich in einem zentralen Gravitationspotential bewegt. Die Newtonschen Gesetze geben Ihnen eine Vektorbewegungsgleichung

$$\begin{equation} m \ddot{\vec{x}} = - \nabla U \end{equation}$$ Wo $U = - G M m /r$. In einem allgemeinen Koordinatensystem ist dies ein komplizierter Satz von drei gekoppelten Differentialgleichungen.

Wir wollen diese Gleichungen so weit wie möglich vereinfachen und entkoppeln. Wir arbeiten also in Kugelkoordinaten. Die Herleitung der Winkelanteile der Bewegungsgleichung überlasse ich dem Lehrbuch, konzentrieren wir uns auf den radialen Anteil. Die linke Seite des Newtonschen Gesetzes wird

$$\begin{equation} m \ddot{\vec{x}} \cdot \hat{e}_r = m \frac{d^2}{dt^2}\left(r \hat{e}_r\right)\cdot\hat{e}_r = m\ddot{r} - m \dot{\theta}^2 r = m \ddot{r} - \frac{L^2}{m r^3} \end{equation}$$ In der letzten Zeile habe ich die Tatsache verwendet, dass wir den Drehimpuls kennen $L = m \dot{\theta} r^2$wird konserviert. Ähnlich, $$\begin{equation} -\nabla U \cdot \hat{e}_r =- \frac{G m M}{r^2} \end{equation}$$ Also, füge es zusammen, $$\begin{equation} m \ddot{r} - \frac{L^2}{m r^3} = -\frac{G m M}{r^2} \end{equation}$$

Jetzt ist es also eine Frage der Interpretation – wir können jetzt denken$r$als die Koordinate eines Teilchens, das in einer Dimension lebt. Wir haben dem Newtonschen Gesetz effektiv einen Term für hinzugefügt$r$das hat keine Derivate darauf. Warum nennt man das nicht Potenzial? Mit anderen Worten, warum ordnen Sie die obige Gleichung nicht so um, dass sie eher wie ein einfaches 1D-Mechanikproblem aussieht?

$$\begin{equation} m \ddot{r} = - \frac{G m M}{r^2}+ \frac{L^2}{m r^3} = - \frac{d}{dr}\left( - \frac{GmM}{r} + \frac{L^2}{2 m r^2} \right) \end{equation}$$ Dies ist ein äußerst nützliches Bild, denn wir alle wissen, wie sich ein Teilchen in einem Potential bewegt! Bei einem gegebenen Drehimpuls können Sie das Potential darstellen und sehen sofort, wo die stabilen Kreisbahnen sind (die Minima des Potentials). Sie können auch qualitativ sehen, wie es ein Hindernis gibt, sich dem Objekt zu nahe zu nähern (was Sinn macht - wenn Sie einen Drehimpuls haben, würden Sie keine Frontalkollision erwarten).

Das ist ziemlich nicht trivial: Sie haben ein zweidimensionales Problem berechnet (eine kreisförmige Umlaufbahn oder sogar Schwingungen um diese Umlaufbahn finden). Mit anderen Worten, das Problem war viel einfacher, als es ursprünglich schien (Sie mussten nicht drei willkürlich gekoppelte Differentialgleichungen lösen, sondern nur eine einfache mit einem Potential), und wir nutzen dies aus, indem wir ein effektives Potential verwenden. Diese Art von Trick taucht überall in der Physik auf.