Warum ist das Potential unabhängig von der verallgemeinerten Geschwindigkeit?

In Goldstein, Klassische Mechanik , Kap. 1.4 leiten wir die Lagrange-Gleichungen aus dem D'Alembert-Prinzip ab. Meine Frage bezieht sich auf den letzten Teil der Ableitung, insbesondere auf den Teil, in dem er die Lagrange-Funktion einführt$L$definiert als$T - V$:

$$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_j} - Q_j = 0 ,\tag{1.53}$$ $$Q_j = - \frac{\partial V}{\partial q_j}. \tag{1.54}$$ Was beim Ersetzen ergibt: $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right) - \frac{\partial (T-V)}{\partial q_j} = 0\tag{1.55}.$$

Der nächste Schritt verwirrt mich. Er erklärt, dass das Potenzial$V$hängt nicht von den verallgemeinerten Geschwindigkeiten ab, also nimmt er die folgende Substitution vor, die "keine Auswirkung auf die Differenzierung in Bezug auf hat$\dot{q}_j$":

$$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial (T - V)}{\partial \dot{q}_j} \right) - \frac{\partial (T-V)}{\partial q_j} = 0.$$ Was zu Bekanntem führt: $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0.\tag{1.57}$$

Es macht intuitiv Sinn. Schließlich können Sie die Position eines Teilchens variieren, ohne seine momentane Geschwindigkeit am Ende seines Weges zu beeinflussen, wodurch eine Änderung des Potentials ohne eine entsprechende Änderung der Geschwindigkeit verursacht wird.

Meine Verwirrung entsteht, wenn Sie die Bewegungsgleichungen a priori kennen:$V$ist von der Position abhängig, die Position ist von der Zeit abhängig (aus Bewegungsgleichungen) und die Geschwindigkeit ist von der Zeit abhängig. Bedeutet dies nicht, dass eine Beziehung zwischen der Potentialfunktion und der Geschwindigkeit besteht ?