Bezieht sich das negative Vorzeichen in der Lagrange-Funktion L=T−VL=T−VL=TV auf die Minkowski-Signatur (+,−,−,−)(+,−,−,−)(+,-,-,-)? der Relativität?

Ich habe viele Ableitungen der Euler-Lagrange-Gleichung gelesen, aber das ist eher ein physikalisch-philosophischer Punkt.

Kinetische Energie T beinhaltet zeitliche Ableitungen, während Potenzial räumliche Lage beinhaltet. In der Relativitätstheorie erscheinen Zeit und Raum mit entgegengesetzten Vorzeichen (+,-,-,-). In der Wellengleichung tun sie das auch ( F T T − F X X . . . = 0 ). Bei rein räumlichen Problemen wie "wie setzt sich ein Trampolin unter einer Punktkraft ab") verwenden wir die Poisson-Gleichung, die rein räumlich ist und nur positive Größen beinhaltet.

Gibt es eine Umbrella-Methode, bei der sowohl räumliche als auch räumlich-zeitliche Probleme alle als Minimierungen erscheinen? Ich spüre eine Verbindung, aber ich sehe sie nicht ganz.

Kurze Antwort: Nein. Schließlich lässt sich mit der Lagrange-Methode auch die Galileische Mechanik genau so beschreiben.
@balu Der einzige Unterschied in der galiläischen Mechanik ist die unendliche Lichtgeschwindigkeit, aber die metrische Signatur ist effektiv dieselbe. Genau genommen sind in der Galileischen Mechanik Raum- und Zeitmetrik getrennt. Da jedoch nichts Reales unendlich ist, kann man sich die Lichtgeschwindigkeit einfach als sehr sehr groß vorstellen. Dann ist die Galileische Raumzeit nur die Minkowski-Raumzeit mit nicht-relativistischen Geschwindigkeiten, aber der gleichen metrischen Signatur. Mit anderen Worten, der Unterschied zwischen Raum und Zeit wird in der Galileischen Mechanik nicht aufgehoben.
Um Geodäten in einer durch eine Metrik gegebenen Raumzeit zu berechnen, verwenden Sie einfach die Metrik als Lagrange und lösen die EL-Gleichungen. Ihre Intuition scheint also eine gewisse Unterstützung zu haben.
@safephere Ich bin mit Ihrer Aussage, dass "die metrische Signatur effektiv gleich ist", nicht einverstanden. Wie Sie sagen, "sind die Raum- und Zeitmetriken in der galiläischen Mechanik getrennt", und aus diesem Grund können wir die galiläische Welt nicht als Minkowski-Raum mit einer unglaublich hohen, aber endlichen Lichtgeschwindigkeit behandeln C . Das Limit C → ∞ du beschreibst funktioniert nicht . Um dies zu sehen, bedenken Sie, dass die Lichtgeschwindigkeit in natürlichen Einheiten immer sein wird 1 . Anders ausgedrückt (mathematischer ausgedrückt) ergibt das Trägheitsgesetz von Sylvester immer die übliche Minkowski-Metrik. Insbesondere…
…die Isometriegruppe (= die Poincaré-Gruppe ICH S Ö ( 1 , 3 ) und somit wird die kausale Struktur für alle immer dieselbe sein C < ∞ . Ja, aus rein mathematischer Sicht gibt es eine Möglichkeit, die Grenze zu verstehen ICH S Ö ( 1 , 3 ) → G , Wo G ist die galiläische Gruppe (siehe "Gruppenkontraktion" auf Wikipedia), aber ich würde argumentieren, dass dies keine physikalische Relevanz hat.

Antworten (1)

Meistens nein, manchmal ja. ZB in der Lagrange-Dichte

L   =   1 2 ∂ μ ϕ   η μ v ∂ v ϕ − v ( ϕ )   =   1 2 ϕ ˙ 2 − 1 2 ( ∇ ϕ ) 2 − v ( ϕ ) ⏟ Minus  mögliche Begriffe

der erste (zweite) Minus in den potentiellen Begriffen ist verwandt (nicht verwandt) mit der Minkowski-Signatur ( + , − , − , − ) , bzw.

Bezieht sich das negative Vorzeichen in der Lagrange-Funktion L=T−VL=T−VL=TV auf die Minkowski-Signatur (+,−,−,−)(+,−,−,−)(+,-,-,-)? der Relativität?
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