Intuition für das Prinzip der Wirkung freier Teilchen?

Stellen Sie sich ein Teilchen vor, das auf eine Mannigfaltigkeit beschränkt ist Q Eingebettet in den standardmäßigen euklidischen 3-dimensionalen Raum, der keine anderen Kräfte erfährt als Zwangskräfte, die ihn darin halten Q . Die Lagrange-Funktion ist in einem solchen Fall einfach die kinetische Energie T , also also die Aktion S durch die nachfolgende Bewegung minimiert wird, lautet wie folgt, wobei wir die Integration entlang des vom Teilchen genommenen Pfades nehmen.

S = ∫ D T   T

Die resultierende Bewegung eines Teilchens ist sowohl (1) ein Weg mit stationärer Länge als auch (2) konstant in T . Ich habe Probleme, mir vorzustellen, warum diese beiden Eigenschaften aus dem oben angegebenen Aktionsintegral folgen.

Auch im einfachsten Fall, wo Q ist das Eindimensionale X -Achse des kartesischen Koordinatensystems wird die Bewegung natürlich beschrieben durch X ( T ) = X 0 + v 0 T , aber das Aktionsintegral lautet

S = M 2 ∫ D T   X ˙ 2 .

Diese Minimierung ist mir nicht klar ∫ D T   X ˙ 2 impliziert, dass X ( T ) ist linear. Verdammt, ich kann diese Stammfunktion nicht einmal in Bezug auf bewerten X , X ˙ , X ¨ usw. ( WolframAlpha auch nicht , daher bin ich mir nicht sicher, ob es mit dieser Allgemeingültigkeit ausgewertet werden kann.)

Irgendwelche Vorschläge, wie man dies sowohl in diesem speziellen Fall als auch im Allgemeinen sinnvoll machen kann? Ich habe das Gefühl, dass es hier etwas Einfaches geben muss, das mir fehlt, wenn man bedenkt, wie vereinfacht ein Fall ist. Ja, ich könnte die Euler-Lagrange-Gleichungen auspeitschen und leicht finden M X ¨ = 0 In diesem speziellen Fall suche ich aber nach einem möglichst direkten und konzeptuellen Sinn dafür, warum das so ist.

Antworten (2)

Die einfache Abhängigkeit der Aktion erlaubt es uns, dies explizit zu zeigen X ˙ = v 0 minimiert es. Zuerst behaupte ich, dass die Lösung X ˙ = v 0 (in Übereinstimmung mit den Anfangsbedingungen) minimiert die Aktion

S [ X ˙ ] = ∫ 1 2 1 2 M X ˙ 2 D T ,
mit 1 Und 2 die jeweils Start- und Endzeit darstellen.

Jetzt variiere ich den Pfad, indem ich eine allgemeine Funktion von hinzufüge T - nennen wir es δ X ,

X = X 0 + v 0 T → X ' = ( X 0 + v 0 T ) + δ X ( T ) ,
mit δ X so dass δ X ( 1 ) = δ X ( 2 ) = 0 um die Randbedingungen einzuhalten. Die Aktion ändert sich wie folgt
S [ v 0 ] → S [ v 0 + δ X ˙ ] = 1 2 M ∫ 1 2 ( v 0 + δ X ˙ ) 2 D T = S [ v 0 ] + M v 0 ∫ 1 2 δ X ˙ D T + 1 2 M ∫ 1 2 ( δ X ˙ ) 2 D T .

Wir können leicht zeigen, dass das Integral von δ X ˙ verschwindet aufgrund der auferlegten Randbedingungen δ X :

∫ 1 2 δ X ˙ D T = ∫ 1 2 D D T δ X D T = δ X ( 2 ) − δ X ( 1 ) = 0.
Die neue Aktion ist also
S [ v 0 + δ X ˙ ] = S [ v 0 ] + 1 2 M ∫ 1 2 ( δ X ˙ ) 2 D T .
Da der Integrand immer ist ≥ 0 , die Wirkung nimmt nur zu, wenn wir den Pfad variieren. Daher ist es ein Minimum. Sie können in 3 Dimensionen durch Ersetzen zu demselben Schluss kommen X Und δ X durch Vektoren R Und δ R . Dieses Verfahren funktioniert nur, weil die Aktion eine wirklich einfache Abhängigkeit von hat X Und X ˙ (Ich denke, es funktioniert auch, wenn es ein Potenzial wie gibt v ( X ) = k X ), aber für allgemeinere Lagrangianer können Sie auf diese Weise nicht zeigen, dass die spezifische Lösung die Aktion minimiert.

  1. Nach dem Prinzip von D'Alembert leisten die Zwangskräfte keine virtuelle Arbeit und können daher vernachlässigt werden. Da es im ansonsten freien Fall keine anderen Kräfte gibt, die Lagrangedichte L denn das eingeschränkte Teilchen ist gerade durch den Rückzug des kinetischen Terms im Umgebungsraum gegeben R 3 zur beschränkten Untermannigfaltigkeit Q .

  2. Die Lösungstrajektorien sind affin parametrisierte Geodäten auf Q , vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Ich stimme dem zu, was Sie gesagt haben, aber ich bin mir nicht sicher, wie das die vorliegende Frage beantwortet.
Intuition für das Prinzip der Wirkung freier Teilchen?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v