Virtuelle Verschiebung und verallgemeinerte Koordinaten

Question

Virtuelle Verschiebung und verallgemeinerte Koordinaten

pppqqq

Ich habe Zweifel bezüglich des Ausdrucks einer virtuellen Verschiebung mit verallgemeinerten Koordinaten. Ich werde die Definitionen, die ich nehme, und das Problem angeben.

Das System besteht aus $n$ Punkte mit Positionen $\mathbf r _i$ und unterliegen $3n-d$ Einschränkungen des Formulars:

\begin{matrix} (1) & ϕ_{J} (R_{1}, R_{2}, . . ., R_{N}, T) = 0 (1 \leq J \leq 3 N - D), \end{matrix}

$\phi _j (\mathbf r _1, \mathbf r _2,...,\mathbf r _n,t)=0\qquad (1\leq j \leq 3n-d), \tag{1}$ das ergibt nach der Zeit:

\begin{matrix} (2) & \sum_{ich = 1} \frac{\partial ϕ_{J}}{\partial R_{ich}} \cdot {\dot{R}}_{ich} = - \frac{\partial ϕ_{J}}{\partial T} . \end{matrix}

$\sum _{i=1} \frac{\partial \phi _j}{\partial \mathbf r _i} \cdot \dot {\mathbf r}_i=-\frac{\partial \phi _j}{\partial t}.\tag{2}$

Nach meinen Notizen eine Menge möglicher Geschwindigkeiten $(\mathbf v_1,\mathbf v_2,...,\mathbf v_n)$ ist eine, die das obige System von erfüllt $j$ Gleichungen (mit $v_i$ anstelle von $\dot r _i$ ), während ein Satz virtueller Geschwindigkeiten das homogene System erfüllt

\begin{matrix} (*) & \sum_{ich = 1} \frac{\partial ϕ_{J}}{\partial R_{ich}} \cdot {\dot{R}}_{ich} = 0. \end{matrix}

$\sum _{i=1} \frac{\partial \phi _j}{\partial \mathbf r _i} \cdot \dot {\mathbf r}_i=0.\tag{*}$ Schließlich ist eine virtuelle Verschiebung durch das Produkt einer virtuellen Geschwindigkeit mit einer Größe gegeben

δ t

$\delta t$ , mit den Dimensionen der Zeit.

Ich habe folgendes Problem. Angenommen, ich habe eine Parametrisierung des Konfigurationsraums zur Zeit $t$ in der Form:

R_{ich} = R_{ich} (Q_{1}, \dots, Q_{D}; T) .

$\mathbf r _i = \mathbf r _i (q_1,\dots ,q_d;t).$ Das ist:

ϕ_{J} ({R_{ich} (Q_{1}, \dots, Q_{D}; T)}, T) = 0

$\phi _j(\{\mathbf r _i (q_1,\dots,q_d;t)\},t)=0$ für alle

q = (q_{1}, \dots, q_{d}) \in Q

$q=(q_1,\dots,q_d)\in Q$ Und

t \in [t_{1}, t_{2}]

$t\in [t_1,t_2]$ . Nun, nach meinen Notizen, wenn eine solche Parametrisierung gegeben ist, ist die allgemeine Form einer virtuellen Verschiebung:

δ R_{ich} = \sum_{H} \frac{\partial R_{ich}}{\partial Q_{H}} δ Q_{H} .

$\delta \boldsymbol r _i =\sum _h \frac{\partial \mathbf r _i}{\partial q _h}\delta q _h.$

Lassen $q(t)$ eine Kurve im Koordinatenraum sein. Indem ich die totale Ableitung beider Seiten der vorhergehenden Gleichung nehme, erhalte ich:

\sum_{ich} \frac{\partial ϕ_{J}}{\partial R_{ich}} \cdot (\sum_{H} \frac{\partial R_{ich}}{\partial Q_{H}} {\dot{Q}}_{H}) + \sum_{ich} \frac{\partial ϕ_{J}}{\partial R_{ich}} \cdot \frac{\partial R_{ich}}{\partial T} + \frac{\partial ϕ_{J}}{\partial T} = 0.

$\sum _i \frac{\partial \phi _j}{\partial \mathbf r _i}\cdot (\sum _h \frac{\partial \mathbf r_i}{\partial q _h} \dot q _h)+\sum _i \frac{\partial \phi _j}{\partial \mathbf r _i}\cdot \frac{\partial \mathbf r _i}{\partial t} +\frac{\partial \phi _j}{\partial t}=0.$ Aber der erste Term ist Null, weil er das Produkt der Gradienten ist

\nabla_{r_{i}} ϕ_{j}

$\nabla _{\mathbf r _i}\phi _j$ mit den virtuellen Geschwindigkeiten

v_{i}

$\mathbf v _i$ . Aber in diesem Fall sieht es so aus, als ob der zweite + dritte Term Null sein sollte.

Ich vermute, dass ein Fehler vorliegt, ich verstehe nicht, warum der zweite + Term immer geben sollte $0$ und ich hätte gerne eine Beweisprüfung dessen, was ich oben geschrieben habe.

QMechaniker

Welchen Text verwendest du?

pppqqq

Es sind nur die Notizen meines Professors. Und möglicherweise interpretiere ich etwas falsch.

Antworten (3)

Virtuelle Verschiebung und verallgemeinerte Koordinaten

Es sind nur die Notizen meines Professors. Und möglicherweise interpretiere ich etwas falsch.

QMechaniker · Answer 1

I) Wichtig ist hier, dass eine virtuelle Verschiebung $\delta$ betrifft nur die verallgemeinerten Positionen $q \in Q$ ,

δ Q = Q_{1} - Q_{0} .

$\delta q ~=~ q_1 - q_0.$

Es hat definitionsgemäß keinen Einfluss auf die Zeitvariable $t\in[t_i,t_f]$ ,

δ T \equiv 0,

$\delta t~\equiv~ 0,$

vgl. Ref. 1. Mit anderen Worten, eine virtuelle Verschiebung bezieht sich immer auf die gleiche Zeit $t$ .

II) Lassen Sie uns eine virtuelle Verschiebung realisieren $\delta q$ mit Hilfe einer Kurve

[0, 1] ∋ S \overset{γ}{\mapsto} γ (S) \in Q

$[0,1]~\ni~s~~\stackrel{\gamma}{\mapsto}~~ \gamma(s)~\in~Q$ mit Endpunkten

γ (S = 0) = Q_{0} Und γ (S = 1) = Q_{1},

$\gamma(s=0)~=~q_0\qquad\text{and}\qquad \gamma(s=1)~=~q_1,$

und wo $s\in[0,1]$ ist der Kurvenparameter. Lassen Sie zum Beispiel

γ (S) = (1 - S) Q_{0} + S Q_{1} .

$\gamma(s) ~=~(1\!-\! s)q_0 + sq_1.$

Dann kann man den Kurvenparameter nicht identifizieren $s$ mit der Zeit $t$ . Insbesondere wenn man (infinitesimal) schreibt

δ Q = \frac{\partial Q}{\partial S} δ S,

$\delta q ~=~ \frac{\partial q}{\partial s}\delta s,$

Dann $\frac{\partial q}{\partial s}$ kann nicht mit den verallgemeinerten Geschwindigkeiten identifiziert werden $\dot{q}\equiv\frac{\partial q}{\partial t}$ .

TL; DR: Abschließend scheint die Frage von OP durch eine Verschmelzung der physikalischen Zeitvariablen angespornt zu sein $t$ und der virtuelle Kurvenparameter $s$ .

Verweise:

H. Goldstein, Klassische Mechanik. Siehe die ersten beiden Sätze nach Gl. (1.47).

Ich bin also falsch, wenn ich eine Gleichheit schreibe wie: $δ R = \sum_{H = 1}^{D} \frac{\partial X}{\partial Q} δ Q = \sum_{H = 1}^{D} \frac{\partial X}{\partial Q} \dot{Q} δ T ?$ $\delta \mathbf r = \sum _{h=1} ^d \frac {\partial \mathbf x}{\partial q}\delta q = \sum _{h=1} ^d \frac {\partial \mathbf x}{\partial q} \dot q \delta t?$ Wie funktioniert die Gleichberechtigung $\delta \mathbf r = \sum _{h=1} ^d \frac {\partial \mathbf x}{\partial q}\delta q$ mit der ersten Definition, die ich von virtueller Verdrängung gegeben habe, übereinstimmen? Außerdem wird in meinem Text die Homotopie nicht erwähnt, ich bin mir ziemlich sicher, dass sie einen anderen Standpunkt einnimmt. Ist meine Definition gut/funktionierend?
Sehr geehrter @Qmechanic, ich habe den Hauptteil dieser alten Frage grundlegend geändert, da ich festgestellt habe, dass das OP sehr verwirrt war. Ich pinge nur, falls Sie Ihre Antwort ändern möchten.

Ahmed Elashri · Answer 2

Ich sehe, Ihre Frage kann in Worten ausgedrückt werden als "Wann stimmen die virtuellen Verschiebungen / Geschwindigkeiten mit den zulässigen überein?" das ist, wie du gesagt hast,

$\frac{\partial \mathbf{x}_{i}}{\partial t} = 0$

das heißt, dass der Positionsvektor $r$ wird in Bezug auf ausgedrückt $q_{k}$ ist nur und enthält nicht $t$ explizit, so wie die Einschränkungen. dh das System ist skleronomisch .

Ein Beispiel für dieses System ist das Pendel mit nicht dehnbarer Schnur. Sie werden feststellen, dass die virtuellen Verschiebungen und Geschwindigkeiten die gleichen sind wie die zulässigen, und der letzte Term, nach dem Sie fragen, verschwindet.

Denken Sie für einen anderen Fall an dasselbe Pendel, aber beispielsweise mit einer dehnbaren Schnur $l = 0.2 t$ .

"Die virtuelle Verschiebung ist nicht immer die erlaubte, das gleiche gilt für die virtuelle Geschwindigkeit"

Ich hoffe, meine Antwort hilft Ihnen und ich denke, Sie werden "Greenwood - Classical Dynamics" für Sie nützlich finden.

Sehr geehrter @Ahmed El-ashry, ich habe den Hauptteil dieser alten Frage grundlegend geändert, da ich festgestellt habe, dass das OP sehr verwirrt war. Ich pinge nur, falls Sie Ihre Antwort ändern möchten.

pppqqq · Answer 3

Als ich diese Frage vor einigen Jahren schrieb, war ich sehr verwirrt über diese "virtuellen Verschiebungen". Jetzt ist mir klar, dass die analytische Mechanik einer der Bereiche der Physik ist, in denen die Kenntnis der richtigen mathematischen Sprache, in diesem Fall der Differentialgeometrie, Ihr Leben unglaublich einfacher machen kann.

Virtuelle Verschiebungen und verallgemeinerte Koordinaten.

Die Lagrange-Mechanik findet auf einer Mannigfaltigkeit statt $M$ , die eingebettet ist $\mathbb R^{3N}$ über eine (möglicherweise nicht konstante) Abbildung $\iota _t$ . Virtuelle Verschiebungen sind nichts anderes als Tangentenvektoren an $\iota _t (M)$ . Wenn $\iota _t=\iota _0$ konstant ist, stimmen virtuelle Verschiebungen auch mit den Geschwindigkeitsvektoren von Kurven überein $\iota _0 (M)$ .

Verallgemeinerte Koordinaten sind die Diagramme der Basismannigfaltigkeit $M$ ; meine obige Parametrierung $\mathbf r _i(q_h;t)$ kann als Komposition verstanden werden:

Q \times R \mapsto M \times R \mapsto R^{3 N},

$Q\times \mathbb R \mapsto M\times \mathbb R \mapsto \mathbb R ^{3N},$

(Q, T) \mapsto (X (Q), T) \mapsto ι_{T} (X (Q)) \equiv R (Q, T) .

$(q,t)\mapsto (x(q),t)\mapsto \iota _t(x(q))\equiv r(q,t).$

Für fest $t_0$ , $r(q,t_0)$ parametrisiert $\iota _{t_0} (M)$ und deshalb $\frac{\partial r}{\partial q _i}$ ist ein Tangentenvektor an $\iota _{t_0} (M)$ , das heißt, es handelt sich um eine virtuelle Verschiebung.

Um mit dem OP Kontakt aufzunehmen, die Einbettung $\iota _t (M)$ ist direkt über kartesische Gleichungen definiert:

ϕ_{J} (R, T) = 0 R \in R^{3 N}, J = 1, 2, \dots, 3 N - D,

$\phi _j (r,t)=0\qquad r\in \mathbb R ^{3N}, j=1,2,\dots ,3N-d,$ virtuelle Verschiebungen sind orthogonal zu den

3 N - d

$3N-d$ Steigungen

\nabla ϕ_{j}

$\nabla \phi _j$ , wie in Gleichung

(*)

$(*)$ des OP. [Hier

r

$r$ bezeichnet die

N

$N$ -Tupel

r = (r_{1}, \dots, r_{N}) \in R^{3 N}

$r=(\mathbf r_1,\dots, \mathbf r _N)\in \mathbb R ^{3N}$ ]

Es gibt eigentlich kein Problem mit dem, was ich nach meiner letzten Gleichung im OP gesagt habe. Der erste Term verschwindet, weil jede $\frac{\partial r}{\partial q _i}$ separat ein Tangentenvektor ist. Der zweite Term verschwindet, weil $\frac{\partial r}{\partial t}$ ist die tatsächliche Geschwindigkeit eines Punktes, der in Bezug auf die Basismannigfaltigkeit stationär ist $M$ (zB ein materieller Punkt stationär bei $\theta =0$ eines rotierenden Rings).

Virtuelle Verschiebung und verallgemeinerte Koordinaten

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Ahmed Elashri

$\frac{\partial \mathbf{x}_{i}}{\partial t} = 0$

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Ahmed Elashri

∂Xich∂T= 0 ∂ X ich ∂ T = 0 \frac{\partial \mathbf{x}_{i}}{\partial t} = 0

pppqqq

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$\frac{\partial \mathbf{x}_{i}}{\partial t} = 0$