In seinem Buch Applied Differential Geometry sagt William Burke Folgendes, nachdem er gesagt hat, dass die Wirkung das Integral einer Funktion sein sollte :
Ein Linienintegral ist nur dann geometrisch sinnvoll, wenn sein Integrand eine 1-Form hat. Ist eine 1-Form? Nun, das ist die falsche Frage. Die richtige Frage lautet: Auf welchem Platz ist eine 1-Form? Es ist keine 1-Form im Konfigurationsraum, dem Ortsraum, weil es eine nichtlineare Abhängigkeit von Geschwindigkeiten haben kann. Eine 1-Form muss ein linearer Operator auf den Tangentenvektoren sein. Der richtige Platz für ist das Linienelement-Kontaktbündel des Konfigurationsraums.
Warum befindet sich nun intuitiv die richtige Einstellung für die Lagrange-Mechanik auf dem Kontaktbündel? Ich verstehe das Kontaktbündel als Paare Wo ist ein Punkt im Konfigurationsraum und ist explizit eine Äquivalenzklasse von Vektoren .
Denken Sie nicht an all die Argumente für die Auswahl des Raums, auf dem ist ein - Form, physikalisch, wie können wir intuitiv erkennen, dass das Kontaktbündel dafür nützlich ist? Ich meine, gibt es eine Beobachtung in der klassischen Mechanik, die uns beim Aufbau der Theorie auf diesem Raum anleitet?
Die Besonderheit der Kontaktgeometrie ist die Kontakt 1-Form , was befriedigt (beschränken wir uns auf 3 Dimensionen). In unserem Beispiel der Lagrange-Mechanik gilt: . Sie möchten, dass dies auf den "zulässigen" Kurven im Phasenraum auf Null zurückgeht - diese Kurven repräsentieren die Bewegungen Ihres Systems.
Eine detailliertere, aber tangentiale Erklärung finden Sie unter:
https://mathoverflow.net/questions/72498/what-is-the-role-of-contact-geometry-in-the-hamiltonian-mechanics