Wie drückt man einen Lagrange und eine Aktion in der Formensprache aus?

Sie wissen vielleicht schon davon, aber Sie finden eine hervorragende Darstellung der Lagrange-Mechanik auf Mannigfaltigkeiten in dem Buch Mathematical Methods of Classical Mechanics von V. Arnold.

Auch um konkret auf deine Frage einzugehen:

$L:TM \rightarrow \mathbb{R}$

so dass$L$ist eine 1-Form; dh$L \in \Omega^1 M$was notwendig ist, um über eine Trajektorie zu integrieren$q$als Kurve betrachtet, eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit:

$q:I \rightarrow J \subseteq M$.

Dieser Teil ist normalerweise nicht wahr, betrachten Sie zum Beispiel die freie Lagrange-Funktion (an einem Punkt ausgewertet$p$als eine Funktion$L_p : T_pM \to\mathbb{R}$)$L_p(v) = <v,v>_p$. Das ist definitiv nicht linear$v$, was für eine 1-Form notwendig ist. (Hier ist < , > eine Riemannsche Metrik auf der Mannigfaltigkeit).

Es kann auch sein, dass die von der Kurve gezeichnete Menge keine Untermannigfaltigkeit ist, dies tritt im Fall einer sich selbst schneidenden Kurve auf.

Sie brauchen keine 1-Form, um über die Kurve zu integrieren. Seit$L$ist eine Funktion$TM \to \mathbb{R}$, für eine differenzierbare Kurve$\gamma : [a,b] \to M$die Zusammensetzung:$L_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t))$ist eine Funktion$[a,b] \to \mathbb{R}$über die man sich integrieren kann.

Aktion definieren$S$von$S[\gamma(t)]=\int_a^b L_{\gamma(t)}(\dot \gamma(t))\, dt$man kann die alten Bewegungsgleichungen unter der Bedingung wiederherstellen, dass$S$ist für einen physikalischen Pfad extrem: Durch die Wahl eines beliebigen Koordinatendiagramms$\phi$auf einer Teilmenge$U \subseteq M$, liegt ein induzierter Koordinatensatz vor$TU \subseteq TM$gegeben von

$\tilde \phi (p,v) = (\{\phi(p)^i\},\{v_i\})$Wo$v=\sum_i v_i\, v(\phi(p)^i) \equiv \sum_i v_i \frac{\partial}{\partial\phi^i}$

Auf diesen Koordinaten$L$erhält die alte Form einer Funktion$L(q,q')$Handeln auf zwei Tupel von Zahlen und dann eom$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial q'}- \frac{\partial L}{\partial q} =0$werden wiederhergestellt.