Beweisen Sie, dass die Gesamtableitung die einzige Funktion ist, die zu Lagrange hinzugefügt werden kann, ohne das EOM zu ändern

Also habe ich das gelesen: Invarianz von Lagrange bei der Addition der Gesamtzeitableitung einer Funktion von Koordinaten und Zeit, und obwohl die Antworten auf die erste Frage gut sind, hat niemand der zweiten viel Aufmerksamkeit geschenkt. Tatsächlich haben die Leute nur gesagt, dass es bewiesen werden kann, ohne irgendwelche Beweise oder irgendwelche zu geben.

Also, wenn ich eine Lagrange-Funktion habe und eine beliebige Funktion HINZUFÜGE Q ˙ , Q Und T MUSS diese zusätzliche Funktion eine Gesamtzeitableitung sein, damit die Bewegungsgleichungen gleich sind?

EDIT Ok, ich habe meine Frage ein wenig geändert:

Frage: Wenn ich eine Funktion habe, die der Euler-Lagrange-Gleichung ohne Schale gehorcht, impliziert dies, dass meine Funktion eine Zeitableitung ist? (Dies wurde in Qmechanics Antwort auf diese andere Frage verwendet: Ableitung der Lagrange-Funktion für ein freies Teilchen , Gleichung 14.)

Und warum reden die Leute nur über Dinge, die die Lagrange-Funktion nur um eine totale Ableitung ändern? Wenn dies nicht immer der Fall ist, wodurch die Bewegungsgleichung gleich bleibt, warum ist es dann so wichtig? Und warum berücksichtige ich in den beiden Fragen, die ich zu derselben Aussage im Mechanikbuch von Landau & Lifshitz gestellt habe, nur diese Art von Änderung in der Lagrange-Funktion?

Antworten (1)

I) OP hat im Wesentlichen gefragt (v1):

Wenn zwei Lagrange-Dichten L Und L ~ haben die gleichen Gl. von Bewegungen, müssen sie sich notwendigerweise durch eine totale Divergenz unterscheiden?

Antwort: Nein, nicht unbedingt, man kann zB immer eine Lagrange-Dichte multiplizieren L mit konstantem Faktor L ~ = λ L anders als eins λ ≠ 1 ohne die EL-Gleichungen zu ändern , aber der Unterschied

(A) L ~ − L = ( λ − 1 ) L
ist keine totale Divergenz, wenn L ist nicht.

II) OP im Wesentlichen gefragt (v4):

Wenn die EL-Gleichungen für alle Feldkonfigurationen trivial erfüllt sind, ist die Lagrange-Dichte L unbedingt eine totale Divergenz?

Antwort: Ja, modulo-topologische Hindernisse im Feldkonfigurationsraum. Dies folgt aus einem algebraischen Poincare-Lemma des sogenannten Bivariationskomplexes, siehe z. 1.

Wir sollten erwähnen, dass ein elementarer Beweis vom Typ „Folge deiner Nase“ für Lagrangianer der Form existiert L ( Q ich , Q ˙ J , T ) ohne Ableitungen höherer Ordnung, siehe z. 2. Wir betonen, dass die Beweistechnik von Lit. 2 funktioniert nicht in Gegenwart von Ableitungen höherer Ordnung oder im Fall der Feldtheorie. [Auch Ref. 2 scheint das Gegenbeispiel in Gl. (A).]

III)

Wenn zwei Lagrange-Dichten L Und L ~ haben die gleichen Gl. von Bewegungen, gibt es einen konstanten Faktor λ so dass L ~ − λ L notwendigerweise durch eine totale Divergenz unterscheiden?

Antwort: Nein, nicht unbedingt. Es gibt topologische Gegenbeispiele.

Verweise:

  1. G. Barnich, F. Brandt und M. Henneaux, Lokale BRST-Kohomologie in Eichtheorien, Phys. Rep. 338 (2000) 439, arXiv:hep-th/0002245 .

  2. JV Jose und EJ Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach, 1998; Abschnitt 2.2.2, p. 67.

Ich denke, OP fragt nach klassischer Mechanik (so L → L , Abweichungen → Zeitableitung), aber ansonsten gute Beobachtung.
Ok, ich glaube, ich habe eine bessere Aussage. Angenommen, die Euler-Lagrange-Gleichung gilt außerhalb der Schale für eine gegebene Funktion von q', q und t, dies impliziert, dass die Funktion eine Gesamtzeitableitung ist?
Außerdem beinhaltet die Frage in dem Link, den ich gepostet habe, eine Passage von Landau, der berühmte, als er den Lagrange von freien Teilchen unter Verwendung der Tatsache ableitet, dass ein galiläischer Boost die Bewegungsgleichung nicht ändern kann. Wenn also mein Lagrangian nach einem Boost ein skalares Vielfaches meines alten wird, ändert dies natürlich nichts an meiner Bewegungsgleichung. Warum wird diese Option verworfen?
@ Danu: Ja, ich konnte nicht widerstehen, die Feldtheorie zu verallgemeinern.
Wow, tolle Antwort! Das erste Papier scheint viele Dinge abzudecken, mit denen ich nicht vertraut bin (ich habe einen Grundkurs über Feldtheorie belegt, aber nicht auf diesem Niveau), es wird jedoch wahrscheinlich in Zukunft und für andere Personen, die es lesen, nützlich sein dieser Faden. Saletanischer Beweis ist dem ähnlich, den ich dachte, aber ich war einfach zu verwirrt mit einigen Details, dass ich den Beweis nicht fertigstellen konnte. Vielen Dank.
Beweisen Sie, dass die Gesamtableitung die einzige Funktion ist, die zu Lagrange hinzugefügt werden kann, ohne das EOM zu ändern
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