Müssen die abwechslungsreichen Wege im Geschehen körperlich möglich sein?

Betrachten Sie der Einfachheit halber ohne Verlust der Verallgemeinerung ein freies Teilchen.

Wenn ich das Prinzip der geringsten Wirkung anwende , stelle ich mir alle Variationen des wahren Weges dazwischen vor T 1 , T 2 unabhängig davon, ob sie möglich sind oder nicht. Aber während einige mögliche Pfade durch Variation der Anfangs- und entsprechenden Endgeschwindigkeiten realisiert werden können, erfordern andere ein zusätzliches virtuelles Potential δ v ( Q ) um dem Teilchen die entsprechende erforderliche Kraft zu verleihen. Bei der Bewertung der Wirkung in diesem Fall wird das Potential in der Lagrange-Funktion jedoch immer als Null angenommen.

Antworten (2)

Nein, tun sie nicht, das ist genau der Sinn des Prinzips der geringsten Wirkung. Sie müssen alle Pfade betrachten , unabhängig davon, ob sie den Bewegungsgleichungen gehorchen oder nicht. Dann sind die Pfade mit der geringsten Wirkung diejenigen, die den Bewegungsgleichungen gehorchen .

Kurz gesagt, die Aufgabe des Prinzips der geringsten Aktion besteht darin, uns zu sagen, welche Pfade „legal“ sind. Wenn wir schon wüssten, welche Wege legal sind, dann hätte es keinen Sinn, das Prinzip anzuwenden.

Aber betrachten wir bei der Umsetzung eines Prinzips der kleinsten Wirkung in der Praxis nicht oft nur eine Teilmenge von Pfaden, und hängt die Wahl dieser Teilmenge nicht oft eng damit zusammen, welche Pfade physikalischer sind? Wenn ich beispielsweise das Snellsche Gesetz nach dem Prinzip der kürzesten Zeit beweisen möchte, ist es praktischer, wenn ich nur gerade Pfade betrachte, außer an der Schnittstelle zwischen den beiden Medien. In der QED werden wir keine Feynman-Diagramme betrachten, in denen ein Elektron in zwei Photonen zerfällt, weil sich die Spins nicht addieren können. Ich glaube nicht, dass es möglich ist zu definieren, was "alle" Pfade bedeuten würden.
@BenCrowell Für das Snell-Gesetz-Beispiel ist dies nur ein Beispiel für die Aktionsminimierung in zwei Schritten: Zuerst minimieren Sie über die Pfade vor und nach der Reflexion (wodurch gerade Linien entstehen), dann minimieren Sie über dem Reflexionspunkt. Die geraden Linien bekommt man nicht umsonst – die kommen auch von der Aktionsminimierung.
@BenCrowell Die Situation in QED ist anders, weil es sich um Quanten handelt, aber wir integrieren dennoch über alle Feldkonfigurationen in das Pfadintegral, einschließlich derjenigen, die keine Energie oder Drehimpuls usw. erhalten. Die Tatsache, dass ein Elektron nicht in zwei zerfallen kann Photonen wird dann abgeleitet . Beispielsweise können Sie die Feynman-Regeln aus den Schwinger-Dyson-Gleichungen ableiten, die aus dem Pfadintegral hervorgehen.

Gegeben eine Aktion

S [ Q ]   =   ∫ T ich T F D T   L ,
Es scheint, dass OP Folgendes fragt.

F: Ist es eine Anforderung an das Variationsprinzip , dass jede virtuelle Trajektorie [ T ich , T F ] → R N kann (als Lösung des 2. Newtonschen Gesetzes) durch Aufbringen einer zusätzlichen geeigneten äußeren Kraft realisiert werden F ( T ) ? Mit anderen Worten, dass jede virtuelle Trajektorie eine klassische Lösung für eine modifizierte Aktion ist

S ~ [ Q ]   =   ∫ T ich T F D T   L ~ , L ~   =   L + F ich ( T ) Q ich ,

mit Quellbegriff?

A: Nein, das ist keine Voraussetzung.

Müssen die abwechslungsreichen Wege im Geschehen körperlich möglich sein?
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