Bedeutet Newton F=maF=maF=ma das Prinzip der kleinsten Wirkung in der Mechanik?

Question

Bedeutet Newton F=maF=maF=ma das Prinzip der kleinsten Wirkung in der Mechanik?

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Ich habe gelernt, dass die Newtonsche Mechanik und die Lagrangesche Mechanik gleichwertig sind und die Newtonsche Mechanik aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung abgeleitet werden kann.

Könnte das Prinzip der geringsten Aktion sein $\min\int L(t,q,q')dt$ in der Mechanik von Newton abgeleitet werden $F=ma$ ?

Sorry, wenn die Frage Anfänger klingt

QMechaniker

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Dirakologie · Answer 1

Newtons zweites Gesetz impliziert das Prinzip der kleinsten Wirkung unter zwei Annahmen:

Das Prinzip der virtuellen Arbeit gilt.
Es treten keine dissipativen Kräfte auf.

Angewendet auf ein Teilchensystem kann das zweite Newtonsche Gesetz geschrieben werden als

\sum_{ich} ({\vec{F}}_{ich} - {\dot{\vec{P}}}_{ich}) = 0.

$\sum_i(\vec F_i-\dot{\vec p}_i)=0.$ Zerlegung dieser Kraft in eine Zwangskraft

{\vec{F}}_{i}^{c}

$\vec F_i^c$ und eine aufgebrachte Kraft

{\vec{F}}_{i}^{a}

$\vec F_i^a$ wir erhalten

\sum_{ich} ({\vec{F}}_{ich}^{A} + {\vec{F}}_{ich}^{C} - {\dot{\vec{P}}}_{ich}) \cdot δ {\vec{R}}_{ich} = 0,

$\sum_i(\vec F_i^a+\vec F_i^c-\dot{\vec p}_i)\cdot\delta\vec r_i=0,$ Wo

δ {\vec{r}}_{i}

$\delta \vec r_i$ ist die virtuelle Verschiebung des Teilchens

i

$i$ . Das Prinzip der virtuellen Arbeit besagt, dass die Gesamtarbeit der Zwangskräfte entlang virtueller Verschiebungen Null ist,

\begin{matrix} (1) & \sum_{ich} {\vec{F}}_{ich}^{C} \cdot δ {\vec{R}}_{ich} = 0. \end{matrix}

$\sum_i\vec F_i^c\cdot\delta\vec r_i=0.\tag1$ Die letzten beiden Gleichungen lassen sich zum d'Alembert-Prinzip zusammenfassen ,

\begin{matrix} (2) & \sum_{ich} ({\vec{F}}_{ich}^{A} - {\dot{\vec{P}}}_{ich}) \cdot δ {\vec{R}}_{ich} = 0, \end{matrix}

$\sum_i(\vec F_i^a-\dot{\vec p}_i)\cdot\delta\vec r_i=0,\tag2$ was die Bewegungsgleichungen des Systems liefert. Der letzte Schritt besteht darin, Gl. (2) von der Zeit

t_{1}

$t_1$ Zu

t_{2}

$t_2$ ,

\int_{T_{1}}^{T_{2}} \sum_{ich} ({\vec{F}}_{ich}^{A} - {\dot{\vec{P}}}_{ich}) \cdot δ {\vec{R}}_{ich} D T = 0

$\int_{t_1}^{t_2}\sum_i(\vec F_i^a-\dot{\vec p}_i)\cdot\delta\vec r_idt=0$ und nehmen an, dass die angelegten Kräfte von einem Potential abgeleitet werden (keine dissipativen Kräfte). Der erste Term führt zu einer potentiellen Energie, während der zweite zu einer kinetischen Energie führt. Außerdem die Abwechslung

δ

$\delta$ kommutiert mit dem Integral und die obige Gleichung kann geschrieben werden als

δ \int_{T_{1}}^{T_{2}} (T - v) D T = 0,

$\delta\int_{t_1}^{t_2}(T-V)dt=0,$ das ist das Prinzip der kleinsten Wirkung.

Aber das Prinzip der geringsten Wirkung und das Prinzip der virtuellen Arbeit sind gleichwertig. Ihre Antwort leitet die Frage einfach um: "Wie impliziert das Newtonsche Gesetz das Prinzip der virtuellen Arbeit"? Wenn ich nichts Großes übersehe, ist das nicht sehr nützlich.
@Max Least Action und Virtual Work sind nicht gleichwertig. Letzteres gilt sogar für dissipative Kräfte, ersteres nicht. Ich kenne keinen Beweis, der Newtons Gesetz und Virtuelle Arbeit betrifft. Beides, Newtonsches Gesetz und Virtuelle Arbeit zusammen, führen zu Least Action.

Alexis Prel · Answer 2

Sie brauchen auch einen Ausdruck für die Lagrange-Funktion, die in der klassischen Mechanik steht

L = T - U

$L = T - U$

Wo $T$ ist die kinetische Energie und $U$ ist die potentielle Energie.

Vorausgesetzt man kann ein Potential zuordnen $U$ zur Kraft $\vec{F}$ so dass $\vec{F} = - \vec{\nabla} U$ (eine solche Kraft wird als konservativ bezeichnet), das Prinzip der kleinsten Wirkung und das zweite Gesetz von Newton sind äquivalent.

Die Demonstration für ein einzelnes Teilchen in 1D ( $T = m v_x^2 /2$ , $F = -dU(x)/dx$ ) ist eigentlich eine gute Übung.

Hier einige Hinweise: Schreiben Sie zuerst Newtons 2. Gesetz in Form der Lagrange-Notation um: $F = - dU/dq$ , $a = d\dot{q}/dt$

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max

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Alexis Prel

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