Warum kann kein Term, der zum Lagrange hinzugefügt wird, als totale Ableitung (oder Divergenz) geschrieben werden?

Betrachten wir der Einfachheit halber nur die klassische Punktmechanik (also a$0+1$dimensionales Weltvolumen) mit nur einer Variablen$q(t)$. (Die Verallgemeinerung zur klassischen Feldtheorie auf einer$n+1$dimensionales Weltvolumen mit mehreren Feldern ist einfach.)

Lassen Sie uns den Titel (v1) wie folgt umformulieren:

Warum kann das Lagrange nicht$L$immer als totale Ableitung geschrieben werden$\frac{dF}{dt}$?

Kurz gesagt, weil:

1. In der Physik ist die Aktion funktional$S[q]$sollte lokal sein, dh von der Form$S[q]=\int dt~L$, bei dem die$L$ist eine Funktion der Form

   $$L~=~L(q(t), \dot{q}(t), \ddot{q}(t), \ldots, \frac{d^Nq(t)}{dt^N};t),$$ und wo$N\in\mathbb{N}_{0}$ist eine endliche Ordnung. (In den meisten Physikanwendungen$N=1$, aber darauf kommt es im Folgenden nicht an. Beachten Sie, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen mit Termen höherer Ordnung modifiziert werden, wenn$N>1$.)

2. Genauso fordern wir das$F$ist von lokaler Form

   $$F~=~F(q(t), \dot{q}(t), \ddot{q}(t), \ldots, \frac{d^{N-1}q(t)}{dt^{N-1}};t),$$ Das betonen wir$L$und$F$beziehen sich nur auf denselben Zeitpunkt$t$. Mit anderen Worten, wenn$t$ist jetzt, dann$L$und$F$hängt weder von der Vergangenheit noch von der Zukunft ab.

3. Die besondere Zwischenrolle der$q$variabel dazwischen$L$und$t$. Beachten Sie, dass es sowohl eine implizite als auch eine explizite Zeitabhängigkeit von geben kann$L$und$F$.

Gegenbeispiel: Betrachten

($F$ist eindeutig bis auf ein funktionales K[q], das nicht davon abhängt$t$.) Aber$F$ist nicht von lokaler Form, da es auch von der Vergangenheit abhängt$t'<t$.

Lassen Sie uns schließlich erwähnen, dass man das beweisen kann (immer noch unter Annahme der Lokalität im obigen Sinne plus der Annahme, dass der Konfigurationsraum kontrahierbar ist, aufgrund eines algebraischen Poincaré-Lemmas des sogenannten Bivariationskomplexes, siehe z. B. Lit. 1).

Verweise:

1. G. Barnich, F. Brandt und M. Henneaux, Lokale BRST-Kohomologie in Eichtheorien, Phys. Rep. 338 (2000) 439, arXiv:hep-th/0002245 .

Lagrange ist eine Funktion der Zeit, verallgemeinerter Koordinaten und der Zeitableitung verallgemeinerter Koordinaten. Offensichtlich sind viele Skalare keine totalen Zeitableitungen;$q^2$zum Beispiel.

Denken Sie bei der Lagrange-Dichte daran, dass es sich um die Funktion von Feldvariablen handelt$\phi_i(x^\mu)$und ihre Derivate$\partial_\mu \phi_i(x^\mu)$. Es ist keine zusammengesetzte Funktion von Koordinaten$\boldsymbol{x^\mu}$. Die beliebige Skalarfunktion in Form einer Divergenz spielt also tatsächlich keine Rolle, da die Funktion von den Koordinaten unabhängig von den Feldvariablen ist.

Beweise es$q^2$kann nicht als Gesamtzeitableitung umgeschrieben werden:

Die Gesamtzeitableitung einer beliebigen Funktion

erfüllt automatisch die Euler-Lagrange-Gleichung (einfach durch Substitution zu beweisen)

$q^2$erfüllt die obige Bedingung nicht und kann daher nicht als Gesamtzeitableitung geschrieben werden.

Der Grund dafür ist ziemlich einfach. Lassen Sie mich den einfachen Fall einer eindimensionalen Bewegung betrachten (die Verallgemeinerung ist trivial). Die Lagrange-Funktion ist eine Funktion der verallgemeinerten Koordinaten und (möglicherweise) der Zeit$L=L(q,\dot{q},t)$. Die Bewegungsgleichungen werden durch Ausführen der Aktion erhalten$S$extrem

$\delta S[q]=0$,

wo$S[q]=\int_{t_{1}}^{t_2} L(q,\dot{q},t) dt$.

Jetzt fügen wir der Lagrange-Funktion eine beliebige Funktion hinzu$G=G(q,t)$so dass

$G(q,t)=\dfrac{dF(q,t)}{dt}$.

Wenn die Funktion$G(q,t)$Riemann-integrierbar ist [beschränkt und stetig außer in einer Menge von Maß Null], dann kann man immer eine solche finden$F(q,t)$. Dies ist bei den meisten für Physiker interessanten Funktionen der Fall. Somit

$L'(q,\dot{q},t)=L(q,\dot{q},t)+G(q,t)$,

$S'[q]=S[q] + \int_{t_1}^{t_2}G(q,t) = S[q] +F(q(t_2),t_2)-F(q(t_1),t_1)$,

denn wenn wir eine Variation machen, zwingen wir das auf$q(t_1)$und$q(t_2)$sind repariert. Wir stellen also fest, dass wir der Lagrange-Funktion und daher einen konstanten Term hinzugefügt haben

$\delta S'[q]=\delta S[q]$,

also bleiben die Bewegungsgleichungen invariant.

Du sagst:

"... was bedeutet, dass der Lagrangian völlig willkürlich ist, was überhaupt keinen Sinn ergibt ..."

Tatsächlich ist die Lagrange-Funktion "willkürlich" in dem Sinne, dass sie Ihnen unter Berücksichtigung bestimmter Symmetrien die richtigen Bewegungsgleichungen liefern muss, wenn das Wirkungsfunktional extremal ist.

Ich habe versucht, dies zu beantworten, und dann eine Website gefunden, die einen besseren Job gemacht hat, als ich könnte, also hier ist sie: http://en.wikibooks.org/wiki/Classical_Mechanics/Lagrange_Theory#Is_the_Lagrangian_unique.3F

Dies ist wirklich ein Kommentar, aber es wurde ein bisschen kompliziert, in ein Kommentarfeld zu gehen:

Beginnen Sie mit dem Langrangian für ein freies Teilchen$L_{Free}$und füge eine Funktion hinzu$G$definiert von:

wo$L_{SHO}$ist der Lagrange-Operator für einen einfachen harmonischen Oszillator. dürfen$G$als Gesamtzeitdifferenz geschrieben werden. Wenn es möglich ist, wird die Aktion für ein freies Partikel nicht durch Hinzufügen geändert$G$zur Lagrangefunktion, und wir müssen schlussfolgern, dass die Wirkung für ein freies Teilchen dieselbe ist wie die Wirkung für einen einfachen harmonischen Oszillator. Da dies nicht der Fall ist, deutet dies darauf hin$G$kann nicht als Gesamtzeitdifferenz geschrieben werden.

Die Funktion$G$ist offensichtlich gerecht$-kx^2$. Ich habe versucht, eine Funktion zu finden$F(x, t)$so dass die Gesamtzeitableitung war$-kx^2$aber ohne Glück, was nicht unbedingt etwas beweist.

Eine Funktion, die nur hat$x$Terme können keine Gesamtzeitableitung sein, weil

Hier können Sie das nicht beseitigen$\dot x$solange du a wählst$F$das hat nur$x$und nein$\dot x$. Weil wenn$F$das hat$x$dann,${dF\over dt}$haben müssen$\dot x$.

Wenn Sie versuchen, den Begriff zu eliminieren, indem Sie a$\dot x$hinein$F$Sie müssen sich jetzt damit befassen$\ddot x$Begriff jetzt. Ähnlich wie Sie weitermachen, haben Sie immer die Zeitableitung höchster Ordnung am Ende der Gleichung, die Sie einfach nicht eliminieren können, ohne ihre Zeitableitung höherer Ordnung einzubeziehen.

Da wir im Allgemeinen keine physikalischen Systeme sehen, die von Zeitableitungen der Ordnung größer als abhängig sind$2$, wir können hier selbst aufhören. Dies ist nur eine der vielen Funktionen, von denen ich glaube, dass sie nicht als totale Ableitung der Zeit geschrieben werden können.