Von welchen Variablen hängt die Aktion SSS ab?

1) Erstens die Lagrange-Funktion $L(q(t),v(t),t)$manchmal$t$ist eine Funktion von:

1. die momentane Position$q(t)$damals$t$;
2. die Momentangeschwindigkeit$v(t)$damals$t$; Und
3. die Zeit$t$(auch bekannt als explizite Zeitabhängigkeit).

2) Zweitens die (Off-Shell-) Aktion

$$\tag{1} S[q]~:=~ \left. \int_{t_i}^{t_f}\! dt \ L(q(t),v(t),t)\right|_{v(t)=\dot{q}(t)}$$

ist ein Funktional der vollständigen Positionskurve/-pfad$q:[t_i,t_f] \to \mathbb{R}$für alle Zeiten$t$im Intervall$[t_i,t_f]$.

3) Drittens, wenn man Randbedingungen (BC) auferlegt, z. B. Dirichlet BC,

$$\tag{2} q(t_i)~=~q_i \qquad \text{and}\qquad q(t_f)~=~q_f,$$

dann gibt es auch eine Vorstellung von einer (Dirichlet) On-Shell-Aktion $^1$

$$\tag{3} S(q_f,t_f;q_i,t_i)~:=~S[q_{\rm cl}]$$

Wo$q_{\rm cl}:[t_i,t_f] \to \mathbb{R}$ist der klassische Weg, der die Euler-Lagrange-Gleichungen mit dem Dirichlet BC (2) erfüllt. Die On-Shell-Aktion$S(q_f,t_f;q_i,t_i)$ist eine Funktion von

1. die Anfangszeit$t_i$;
2. die Ausgangslage$q_i$;
3. das letzte Mal$t_f$; Und
4. die Endstellung$q_f$.

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$^1$Siehe auch zB MTW Abschnitt 21.1. Für die On-Shell-Aktion$S(q_f,t_f;q_i,t_i)$Um genau definiert zu sein, sollte es einen einzigartigen klassischen Pfad mit dem BC geben (2). (Hier beziehen sich die Wörter On-Shell und Off-Shell darauf, ob die Euler-Lagrange-Gleichungen erfüllt sind oder nicht.)