Was ist die physikalische Intuition für symplektische Strukturen?

Betrachtet man den Phasenraum (den Raum der Anfangsdaten)${\cal{M}}$eines klassischen Systems kann es als Kotangensbündel angesehen werden$T^{*}Q$des Konfigurationsraums$Q$.

Wie Sie sagen, hat dieses Bündel eine natürliche symplektische Struktur$\omega:T{\cal{M}}\times T{\cal{M}}\rightarrow \mathbb{R}$. Jetzt gegeben ein Hamiltonoperator$H:{\cal{M}}\rightarrow \mathbb{R}$Unter Verwendung der Umkehrung der symplektischen Struktur können wir das Hamiltonsche Vektorfeld erhalten$X_{H}=\omega^{-1}(dH,.):T^{*}{\cal{M}}\rightarrow \mathbb{R}$.

Betrachten wir nun Koordinaten$(q_{1},..,q_{n})$in$Q$. Dieser Satz von Koordinaten führt zu einem natürlichen Satz von Koordinaten$(q_{1},..,q_{n};p_{1},..,p_{n})$an${\cal{M}}$indem$(p_{1},..,p_{n})$die Komponenten der Kotangensvektoren in der Koordinatenbasis zugeordnet sein$(q_{1},..,q_{n})$.

Die symplektische Form nimmt dann die Form an$\omega=\sum_{\mu}dp_{\mu}\wedge dq_{\mu}$und die Umkehrung nimmt die Form an$\omega^{-1}=\sum_{\mu}(\frac{\partial}{\partial q}_{\mu})\otimes (\frac{\partial}{\partial p}_{\mu})-(\frac{\partial}{\partial p}_{\mu})\otimes (\frac{\partial}{\partial q}_{\mu})$.

Dann wird das hamiltonsche Vektorfeld bezeichnet mit:$X_{h}=\sum_{\mu}(\frac{\partial H}{\partial q}_{\mu})\otimes (\frac{\partial}{\partial p}_{\mu})-(\frac{\partial H}{\partial p}_{\mu})\otimes (\frac{\partial}{\partial q_{\mu}})$.

Betrachtet man nun eine ganzzahlige Kurve dieses Vektorfeldes, so bedeutet dies, dass die Kurve$\alpha:\mathbb{R}\rightarrow {\cal{M}}$erfüllt$\frac{d \alpha}{dt}=X_{h}$

Wir erhalten

welche die Hamilton-Gleichung sind.

Darüber hinaus können wir die Poisson-Klammer zweier klassischer Observablen als definieren$\{f,g\}=\omega^{-1}(df,dg)$was für die Koordinaten genügt$\{q_{\mu},q_{\nu}\}=0,\{p_{\mu},p_{\nu}\}=0,\{q_{\mu},p_{\nu}\}=\delta_{\nu\mu}$. Wie Sie sehen können, ähneln diese Beziehungen den Observablen im QM. Tatsächlich gibt es viele Quantisierungsverfahren aus klassischen Theorien, bei denen dies der Ausgangspunkt ist.

Schließlich können Sie die klassische Aktion definieren, wenn der Hamilton-Operator nicht von der Zeit abhängt als$S=\int\theta$wobei das Integral so zu verstehen ist, dass es über die Mannigfaltigkeit übernommen wird, die durch Halten der Energie definiert ist$E$Konstante:$H=E=$konst.

Hier sind zwei Bilder aus Roger Penroses The Road of Reality, die helfen könnten:

Die Kurven, die den Hamiltonschen Fluss als Tangentenvektoren haben, sind die Lösungen der Bewegungsgleichungen des Systems.