Symplektische Struktur und Isomorphismen

In seinem Buch Mathematische Methoden der klassischen Mechanik schreibt VI Arnold

Zu jedem Vektor ξ , Tangente an eine symplektische Mannigfaltigkeit ( M 2 N , ω 2 ) am Punkt X , assoziieren wir eine 1-Form ω ξ 1 An T M X nach der Formel

ω ξ 1 ( η ) = ω 2 ( η , ξ ) ∀ η ∈ T M X

Ich sehe wie ω 2 liefert einen Isomorphismus ξ → ω ξ 1 . Aber dann hat Arnold das Beispiel

In R 2 N = { ( P , Q ) } Wir werden Vektoren und 1-Formen anhand der euklidischen Struktur identifizieren ( X , X ) = P 2 + Q 2 . Dann die Korrespondenz ξ → ω ξ 1 bestimmt eine Verwandlung R 2 N → R 2 N .

Ich nehme an, dass er mit "euklidischer Struktur" über die euklidische Metrik spricht. Aber ich sehe nicht, wie dieser Isomorphismus die Transformation induziert R 2 N → R 2 N oder darüber hinaus, wie man die Matrix dieser Transformation bestimmt.

Und Hilfe wäre sehr willkommen.

Antworten (2)

Dasselbe wie bei der symplektischen Form: ω ( v ) = ( u ω , v ) definiert die Isomorphie zwischen 1-Formen und Vektorfeldern. Wenn die Metrik euklidisch ist, entspricht die duale Basis zu einer orthonormalen Basis der Basis selbst.

Das sagt mir, was ich bereits weiß. Ich verstehe nicht warum R 2 N → R 2 N geschieht und wie man die Matrix dieser Transformation bestimmt.
Die Matrix ist in meiner Antwort im Grunde in Worten geschrieben: Es ist nur die Identitätsmatrix, wenn Sie die Matrix der symplektischen Form implizieren, ist dies nur die symplektische Standardform R 2 Tensor mit N × N Identitätsmatrix.
Die Antwort gibt er im P , Q Basis:
( 0 1 − 1 0 )
Ich verstehe, wie das symplektisch ist, aber was genau bedeutet die Transformation?
Es ist nur ein Isomorphismus zwischen 1-Formen und Vektorfeldern, der durch eine nicht entartete schiefsymmetrische Form gegeben ist. Erinnern Sie sich daran, dass es keinen natürlichen Isomorphismus zwischen einem Vektorraum und seinem Dual gibt, daher benötigt man normalerweise eine zusätzliche Struktur, um einen auf "kanonische Weise" zu definieren. Bei einer symplektischen Mannigfaltigkeit besteht der kanonische Weg darin, die symplektische Form zu verwenden (wenn die Mannigfaltigkeit zufällig auch Riemannsch oder nur Riemannsch ist, ist eine andere mögliche "kanonische" Wahl der musikalische Isomorphismus).
Ok, und diese Matrix ist der Grund, warum die Hamilton-Gleichungen ein Vorzeichen umgedreht haben, richtig?
Du hast Recht. In Matrixschreibweise können sie geschrieben werden als η ˙ = J ∂ H ∂ η T , Wo η = ( Q , P ) Und J ist die symplektische Form, die Sie geschrieben haben (beachten Sie, dass die Einsen tatsächlich sind N × N Identitätsmatrizen).

Die lineare Transformation ist die folgende Zusammensetzung von linearen Abbildungen:

  • Gehe von R N Zu T M M unter Verwendung der natürlichen Identifikation
  • Gehe von T M M Zu T M ∗ M mit der symplektischen Form
  • Gehe von T M ∗ M Zu T M M unter Verwendung des inversen Isomorphismus, der durch die Metrik gegeben ist
  • Gehen Sie wieder zurück zu R N

(Hier M = R N Und M = ( Q , P ) Übrigens stimmt diese Transformation natürlich nur mit der üblichen symplektischen Matrix überein, wenn die symplektische Form die Standardform ist ω = D Q ich ∧ D P ich .

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