Zusammenhang zwischen Poisson-Klammern und symplektischer Form

Question

Zusammenhang zwischen Poisson-Klammern und symplektischer Form

Raffael R.

Jose und Saletan sagen die Matrixelemente der Poisson-Klammern (PB) in der ${q,p}$ Basis sind die gleichen wie die der Inversen der symplektischen Matrix $\Omega^{-1}$ , während die Matrixelemente der symplektischen Form denen der symplektischen Matrix entsprechen $\Omega$ .

Ich habe kein Problem mit der letzten Aussage, aber ich schon mit der ersten. Das liegt daran, dass die PBs einführen, indem sie die Hamilton-Gleichung als schreiben

\dot{ξ^{J}} = ω^{J k} \frac{\partial H}{\partial ξ^{k}},

$\dot{\xi^j} = \omega^{jk}{\frac{\partial H }{\partial \xi^k}} ,$

Wo $\omega^{jk}$ sind die Elemente der $\Omega$ , und dann die Lie-Ableitung einer dynamischen Variablen nehmen $f$ entlang des dynamischen Vektorfeldes, das gibt

L_{Δ} F = (\partial_{J} F) ω^{J k} (\partial_{k} H) + \partial_{T} F .

$L_{\Delta}f = (\partial_j f) \omega^{jk}(\partial_k H)+ \partial_{t}f.$

Es wird später gesagt, dass der Begriff, der die enthält $\omega^{jk}$ ist die PB $\left \{ f,H \right \}$ , was ich überhaupt kein Problem habe, da es den richtigen Ausdruck für die PBs der kanonischen Koordinaten gibt, wenn die $\omega^{jk}$ sind die Elemente der symplektischen Matrix $\Omega$ , dh in der Art, wie sie erstmals durch Hamiltons Gleichungen eingeführt wurde. Wie ich jedoch erwähnt habe, sagen sie in einer späteren Betrachtung, dass die $\omega^{jk}$ der PBs sind die Elemente von $\Omega^{-1}$ , was mich verwirrt hat, vor allem, weil sie an mehreren Stellen im Buch verwendet werden $\omega^{jk}$ als Bestandteile von $\Omega$ , Und $\Omega_{jk}$ als Bestandteile von $\Omega^{-1}$ , bei verschiedenen Ableitungen. Ich glaube jedoch nicht an die Aussage in dem Buch, dass die Elemente der PBs diejenigen von sind $\Omega^{-1}$ ist falsch, weil dies bei der Ableitung der Erhaltung der symplektischen Form unter kanonischen Transformationen verwendet wird. Daher denke ich, dass es irgendwo ein Missverständnis meinerseits gibt, von dem ich nicht weiß, wo es ist, und ich wäre dankbar, wenn jemand etwas Licht ins Dunkel bringen könnte.

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QMechaniker · Answer 1

Es scheint, dass OP nur eine Zeichenkonvention in einem bestimmten Buch nachzeichnen möchte (Ref. [JS]). Um dies am überzeugendsten zu beantworten, sollten wir dokumentieren, wo wir was gelesen haben.

Bei kanonischen Koordinaten (auch bekannt als Darboux-Koordinaten) verwendet [JS] eine Konvention, bei der die Positionen $q^i$ werden vor dem momenta bestellt $p_i$ ,
$ξ^{ich} = (Q^{1}, \dots, Q^{N}, P_{1}, \dots P_{N}),$ $\xi^i~=~(q^1, \ldots, q^n,p_1, \ldots p_n),$ vgl. egp 215 in [JS].
Oben auf p. 230 in [JS] steht geschrieben:

Die Elemente $\omega_{jk}$ der symplektischen Form und der $\omega^{jk}$ der Poisson-Klammer [...] sind die Matrixelemente von $\Omega$ Und $\Omega^{-1}$ , bzw.

Da wir nur auf eine Vorzeichenkonvention aus sind, beschränken wir uns der Einfachheit halber auf kanonische/Darboux-Koordinaten. Dann $\Omega^2=-1_{2n}$ , und daher der Unterschied zwischen $\Omega$ Und $\Omega^{-1}$ läuft auf ein Zeichen hinaus.

Auf P. 216 Äquivalente (5.42b) und (5.43) lesen
$\begin{matrix} (5.42b) & ω_{ℓ J} {\dot{ξ}}^{J} = \partial_{ℓ} H, \end{matrix}$ $\tag{5.42b} \omega_{\ell j} \dot{\xi}^j~=~ \partial_{\ell} H,$ $\begin{matrix} (5.43) & Ω = [\begin{matrix} 0_{N} & - {ICH}_{N} \\ {ICH}_{N} & 0_{N} \end{matrix}] . \end{matrix}$ $\tag{5.43} \Omega ~=~\begin{bmatrix} 0_n & -I_n \cr I_n & 0_n \end{bmatrix}.$
Auf P. 218 Äquiv. (5.47) definiert die Poisson-Klammer
$\begin{matrix} (5.47) & {F, G} \equiv (\partial_{J} F) ω^{J k} (\partial_{k} G) \equiv \frac{\partial F}{\partial Q^{a}} \frac{\partial G}{\partial P_{a}} - \frac{\partial F}{\partial P_{a}} \frac{\partial G}{\partial Q^{a}}, \end{matrix}$ $\tag{5.47} \{f,g\} ~\equiv~ (\partial_jf) \omega^{jk} (\partial_kg) ~\equiv~ \frac{\partial f}{\partial q^{\alpha}}\frac{\partial g}{\partial p_{\alpha}}-\frac{\partial f}{\partial p_{\alpha}}\frac{\partial g}{\partial q^{\alpha}},$ führt zur Hamiltonschen Bewegungsgleichung (5.50), $\begin{matrix} (5,50) & {\dot{ξ}}^{J} = {ξ^{J}, H} . \end{matrix}$ $\tag{5.50} \dot{\xi}^j~=~ \{\xi^j , H\}.$

Wir schließen daraus, dass [JS] die Konvention hat, dass

Ω^{- 1} = [\begin{matrix} 0_{N} & {ICH}_{N} \\ - {ICH}_{N} & 0_{N} \end{matrix}] .

$\Omega^{-1} ~=~\begin{bmatrix} 0_n & I_n \cr -I_n & 0_n \end{bmatrix}.$

So weit, ist es gut.

Auf S.228 steht geschrieben

\begin{matrix} (5,75) & ω = D Q^{a} \land D P_{a} . \end{matrix}

$\tag{5.75} \omega ~=~ dq^{\alpha} \wedge dp_{\alpha}.$

Vergleichen mit $\Omega$ Und $\omega_{ij}$ , schließen wir daraus, dass [JS] die Konvention hat, dass

ω = \frac{1}{2} ω_{ich J} D ξ^{J} \land D ξ^{ich} = - \frac{1}{2} ω_{ich J} D ξ^{ich} \land D ξ^{J} .

$\omega ~=~ \frac{1}{2} \omega_{ij} d\xi^j \wedge d\xi^i ~=~ -\frac{1}{2} \omega_{ij} d\xi^i \wedge d\xi^j .$

Beachten Sie die umgekehrte Reihenfolge von $i$ Und $j$ ! Dies ist wahrscheinlich der Punkt, an dem OP und viele andere es stattdessen gerne anders definiert hätten

\begin{matrix} (Gegenüber JS) & ω = \frac{1}{2} ω_{ich J} D ξ^{ich} \land D ξ^{J}, \end{matrix}

$\tag{Opposite JS} \omega ~=~ \frac{1}{2} \omega_{ij} d\xi^i \wedge d\xi^j,$

Und

\begin{matrix} (Gegenüber JS) & ω = D P_{a} \land D Q^{a} . \end{matrix}

$\tag{Opposite JS} \omega ~=~ dp_{\alpha} \wedge dq^{\alpha}.$

Verweise:

[JS] Jose und Saletan, Klassische Dynamik: Ein zeitgenössischer Ansatz, 1998.

Oh, sie haben also einen Indextausch durchgeführt. Dies ist eine sehr falsche Konvention – sie steht im Widerspruch zu dem, was Sie mit einer metrischen Mannigfaltigkeit tun würden. Sie hätten eines der beiden mit einem Minuszeichen definieren sollen. OP war zu Recht verwirrt. Danke, dass du es aufgespürt hast, +1.
Danke für die Klarstellung. Es macht für mich immer noch keinen Sinn, warum sie sich für eine so verwirrende Art entschieden haben, dies darzustellen, aber zumindest verstehe ich jetzt, was passiert ist. Ich muss allerdings sagen, dass in meiner Version des Buches (ebenfalls von 1998) die Matrix, die Sie in Gl. 5,43 ist für $\Omega ^{-1}$ nicht $\Omega$ , und als Ergebnis sollte Ihre Matrix nach "wir schließen ..." sein $\Omega$ . Es ändert nichts anderes, auf das Sie hingewiesen haben, könnte aber bei jemand anderem Verwirrung stiften.
Ich habe jetzt nochmal meine 1998er Version von [JS] überprüft. Seine Gl. (5.43) ist für $\Omega$ nicht $\Omega^{-1}$ .

orbifold · Answer 2

Mal sehen: Eine symplektische Form auf einer Mannigfaltigkeit $P$ (der Phasenraum) ist eine nicht entartete geschlossene Zwei-Form $\omega$ .

Dies gibt Ihnen für jede Funktion $f \colon P \to \mathbf{R}$ ein Vektorfeld $\xi_f$ definiert von

{ich}_{ξ_{F}} ω = - D F

$i_{\xi_f}\omega = -df$ ,

Wo $i$ bezeichnet das Innenprodukt .

Dann für zwei Funktionen $f,g \colon P \to \mathbf{R}$ die Poissonklammer ist

{F, G} = ξ_{F} G = ω (ξ_{F}, ξ_{G}) = - {G, F}

$\{f,g\} = \xi_f g = \omega(\xi_f,\xi_g) = - \{g,f\}$

Jetzt in lokalen Koordinaten $\xi_f = \xi^i_f \partial_i$ , also bekommst du

{ich}_{ξ_{F}} ω (\partial_{J}) = ω (ξ_{F}^{ich} \partial_{ich}, \partial_{J}) = ξ_{F}^{ich} ω (\partial_{ich}, \partial_{J}) = ξ_{F}^{ich} ω_{ich J} = - D F (\partial_{J}) = - \partial_{J} F

$i_{\xi_f}\omega(\partial_j) = \omega(\xi^i_f \partial_i,\partial_j) = \xi^i_f \omega(\partial_i,\partial_j) = \xi^i_f \omega_{ij} = -df(\partial_j) = -\partial_j f$

Seit $\omega$ ist invertierbar das heißt $\xi^i_f = -\omega^{ij}\partial_j f$ , somit

{F, G} = ω^{ich J} \partial_{ich} F \partial_{J} G

$\{f,g\} = \omega^{ij}\partial_i f \partial_j g$

Ich verstehe nicht, wie Sie auf die Verwirrung in meinem Beitrag geantwortet haben. Ich weiß, dass die Matrizen, die die PB und die symplektische Form darstellen, zueinander invers sind, das Problem liegt in ihrer Darstellung, dh in der (q,p)-Darstellung müssen w^{ij} die Matrixelemente der symplektischen Matrix also sein wir erhalten den richtigen Ausdruck für PB (wenn die Reihenfolge der \xi zum Beispiel q1,q2,p1,p2 ist). Wenn ich dagegen w_(ij) als Matrixelemente der Umkehrung von Omega verwende, um die symplektische Form zu erhalten, erhalte ich (wieder in der q,p-Wiederholung), w = - dq ^ dp anstelle von w = dq ^ dp.

Arnold Neumaier · Answer 3

Ich habe Jose und Saletan nicht, aber siehe Theorem 18.1.3, insbesondere (18.6), in meinem Buch Classical and Quantum Mechanics via Lie algebras

Ron Maimon · Answer 4

Hier geht es um das Anheben und Absenken von Indizes. Das Formular $\omega_{ij}$ mit niedrigeren Indizes ist nicht dasselbe wie der Zwei-Tensor $\omega^{ij}$ , obwohl bei einer flachen Metrik (wie Ihre Beispiele haben) die beiden gleich sind (da das Erhöhen und Senken eines Index keinen Unterschied macht). Aber es gibt ein Vorzeichenproblem – die beiden Tensoren sind antisymmetrisch , und Sie könnten das Erhöhen des Index definieren, um auch die Indexposition zu tauschen. In diesem Fall erhalten Sie ein zusätzliches Minuszeichen.

Das Problem ist wichtig, da die symplektische Matrix einen Abwärts- und einen Aufwärtsindex hat und zu -1 quadriert:

ω_{J}^{ich} ω_{k}^{J} = - δ_{k}^{ich}

$\omega^i_j \omega ^j_k = -\delta^i_k$

(vorausgesetzt, keine Swap-Definition). Dann Absenken und Anheben mit der Metrik,

ω^{ich J} = G^{J k} ω_{k}^{ich}

$\omega^{ij} = g^{jk}\omega^i_k$

ω_{ich J} = G_{ich k} ω_{ich}^{k}

$\omega_{ij} = g_{ik}\omega^k_i$

Wenn Sie also die Einträge als Matrizen multiplizieren ,

ω^{ich J} ω_{J k} = ω_{k}^{ich} G^{k J} G_{J l} ω_{k}^{l} = - δ_{k}^{ich}

$\omega^{ij}\omega_{jk} = \omega^i_k g^{kj}g_{jl}\omega^l_k = -\delta^i_k$

Da die gs zueinander invers sind, erhalten Sie eine Aufhebung in der Mitte. Das Ergebnis sind die Einträge des oberen Index $\omega$ sind die inverse Matrix (bis auf ein Vorzeichen) des unteren Index $\omega$ , und das ist, was die Autoren zu sagen versuchen.

Sie sind entweder schlampig in Bezug auf das Zeichen oder haben eine Index-Flipping-Konvention, die es behebt, ich weiß es nicht. Aber das Zeichen auf der Rückseite ist der Grund für Ihre Verwirrung. Ich würde ihre Terminologie nicht verwenden --- ich würde sagen, dass der obere Index $\omega$ hat Einträge, die das negative Inverse des unteren Index sind $\omega$ 's, aber sie korrigieren wahrscheinlich alle Zeichen mit ihrer Erfahrung und Intuition, damit die Formeln am Ende richtig sind.

EDIT: Qmechanic hat die Referenz gefunden

Es ist eine Tauschbörse. Sie drehen die Indizes für den Tensor gegen die Form um und absorbieren das Minuszeichen. Dies ist keine große Konvention, aber es ist, was sie tun. Danke Qmechanic, dass du es herausgefunden hast.

Kommentar zur Antwort (v1): Die Begriffe einer symplektischen 2-Form $\omega_{ij}$ und ein Poisson-Bivektorfeld $\omega^{ij}$ kann (und sollte) definiert werden, ohne sich auf die Existenz einer willkürlichen Wahl eines metrischen Tensorfeldes zu verlassen $g_{ij}$ .

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