Geometrische Mechanik - Symplektik

Der Hauptunterschied zwischen der Hamilton- und der Lagrange/Newton-Mechanik besteht darin, dass sie direkt im Phasenraum stattfindet , dh jeder Punkt auf Ihrer Mannigfaltigkeit bestimmt bereits vollständig den Zustand Ihres Systems. Intuitiv realisieren Sie dies durch die Angabe von Orts- und Impulskoordinaten. Auf mathematischer Ebene ist die Welt, die wir sehen, eine glatte Mannigfaltigkeit (a priori nicht einmal unbedingt Riemann), dies ist der Ort, an dem Sie Ihre Positionskoordinaten angeben. Um Impulskoordinaten anzugeben, müssen Sie Punkte aus dem Kotangensraum berücksichtigen, daher ist die Struktur, in der Sie Ihren Zustand vollständig angeben können, das vollständige Kotangensbündel Ihrer ursprünglichen Mannigfaltigkeit.

Das Kotangensbündel kann jedoch als eigenständige Mannigfaltigkeit betrachtet werden (mit der doppelten Dimension der ursprünglichen Mannigfaltigkeit). Außerdem kann man ganz einfach eine kanonische (!) symplektische Struktur konstruieren, indem man die Ableitung der natürlichen Projektion verwendet. Der Grund, warum es sinnvoll ist, die "ursprüngliche Mannigfaltigkeit" beiseite zu legen und nur mit symplektischen Mannigfaltigkeiten bzw. Kotangensräume, ist der Satz von Darboux , der im Grunde besagt, dass jede symplektische Mannigfaltigkeit tatsächlich lokal äquivalent zum Kotangensraum einer Mannigfaltigkeit ist. Polemisch vereinfacht könnte man sagen „Das Kotangensbündel ist die symplektische Mannigfaltigkeit“.

Schauen wir uns nun die symplektische Struktur genauer an: Lokal sieht es so aus

$$\omega=d\vec{q}\wedge d \vec{p}=dq_i\wedge dp^i$$ Damit können Sie eine Volumenform (bis zu einer gewissen Konstante) als konstruieren $\omega^n$Wo $2n$ist die Dimension Ihrer Mannigfaltigkeit. Vor allem sieht man, dass dieser Band sogar orientiert ist – lokal kann man sich manche Region tatsächlich als eine Region im euklidischen Raum vorstellen. Das berühmte Liouville-Theorem besagt, dass der Hamiltonsche Phasenfluss (dh die einparametrische Gruppe des entsprechenden autonomen Systems) die symplektische Struktur intakt lässt, also auch das Volumen erhält. Dies ist insbesondere in der statistischen Mechanik eine wichtige Konsequenz. Dies ist jedoch nicht der Hauptpunkt der symplektischen Struktur. Wichtig ist, dass die symplektische Form zusammen mit dem Hamilton-Operator die Trajektorie bestimmt: Trajektorien sind definiert als Integralkurven des Hamilton-Vektorfeldes $X_H$, die durch die Hamilton-Funktion und die symplektische Struktur eindeutig bestimmt ist $$\omega(\cdot,X_H)=dH$$ Anschaulich gesprochen: Wenn Sie ein Teilchen auf eine symplektische Mannigfaltigkeit werfen, bewegt es sich entlang des Hamiltonschen Vektorfelds.

Der springende Punkt bei kanonischen Transformationen ist nun, dass sie als ganzzahlige Invariante die symplektische Form haben, oder, mathematisch gesprochen, ein spezieller Symplektomorphismus sind. Dies hat natürlich zur Folge, dass die lokalen Gleichungen, die die Trajektorien bestimmen, nicht beeinflusst werden. Sie können sich eine kanonische Transformation daher genauso wie eine Umparametrisierung eines bestimmten Bereichs der symplektischen Mannigfaltigkeit vorstellen, genau wie einen Wechsel von kartesischen zu sphärischen Koordinaten. In diesem Sinne besteht der große Vorteil gegenüber Lagrange darin, dass Sie beide gleichzeitig transformieren können$p$Und$q$, was am Ende natürlich zu viel einfacheren Gleichungen führt, da Sie kanonische Transformationen verwenden können, um alle Koordinaten zyklisch zu machen. Dies ist die Grundidee der Hamilton-Jacobi-Theorie.