Eine Frage zu Teilchenbahnen im symplektischen Mannigfaltigkeitsformalismus

In diesem Spezialfall ist die symplektische Mannigfaltigkeit das Kotangensbündel der Kugel. Ein Kotangensbündel ist immer eine symplektische Mannigfaltigkeit, die als Phasenraum für ein um die Mannigfaltigkeit wanderndes Teilchen interpretiert werden kann. Die Position des Teilchens ist der Ort auf der ursprünglichen Mannigfaltigkeit, während der Impuls des Teilchens (ein skalares Vielfaches davon) der Kotangensvektor ist. Dies definiert den Phasenraum für die Teilchenbewegung.

Sie fragen sich vielleicht, warum ein Kotangensvektor und kein Tangentenvektor . Der Grund dafür ist, dass es der Impulspunkt der Geschwindigkeit ist, der eine Invariante ist (die Änderung der Phase mit der Zeit in der Quantenmechanik, das Inkrement der Wirkung in der Zeit klassisch). Wenn dies nicht intuitiv ist, keine Sorge, lesen Sie einfach weiter, es wird unten mathematisch deutlich gemacht.

Um eine symplektische Mannigfaltigkeit zu definieren, benötigen Sie eine symplektische Form, die ein Objekt ist, das den Gradienten einer skalaren Hamilton-Funktion in einen Phasenraumvektor (ein Vektor im Tangentenbündel des Phasenraums, das Tangentenbündel des Kotangensbündels) überführt ), die Ihnen sagt, wie sich die Dinge als Reaktion auf den Hamilton-Operator im Phasenraum bewegen. In diesem Fall nimmt die symplektische Form einen Gradienten einer skalaren Energiefunktion auf dem Kotangensbündel (nicht auf der Kugel) in ein Vektorfeld auf dem Kotangensbündel (nicht auf der Kugel) an. Dies ist völlig intuitiv - der Hamilton-Operator ist sowohl eine Funktion der Position als auch der Impulse:

Der Kugelpunkt sei durch s^i und der Kotangensvektor durch p_i koordiniert. Bei gegebener Hamilton-Funktion H(s,v) lauten die Hamilton-Gleichungen

$${ds^i\over dt} = {\partial H\over \partial p^i}$$ $${Dp_i\over Dt} = -{\partial H \over \partial s_i}$$

Dies ist eine kovariante Gleichung – die Ableitung der Position ist ein Vektor, und die kovariante Ableitung des Covektors ist ein Covektor, also sind die linke und die rechte Seite tensoriell konsistent. Dies ist aus dem konsistenten Muster der oberen und unteren Indizes ersichtlich.

Daraus erhalten Sie eine mathematische Begründung dafür, warum das Kotangensbündel – die Ableitung in Bezug auf p einen Vektor ergeben muss, mit anderen Worten, etwas, das mit einem Covektor punktet, um einen Skalar zu bilden. Ein Gradient in Bezug auf einen Covektor punktet mit einem Covektor, um einen Skalar zu bilden (dies ist nur die Art eines Mathematikers zu sagen, dass die Indizes an der richtigen Stelle sind).

Der Grund, warum es eine kovariante Ableitung auf p und nicht auf s gibt, liegt darin, dass das Kotangensbündel in den Kotangensrichtungen flach ist (diese sind ein Vektorraum). Das Kotangensbündel ist nur entlang der Kugel nicht flach.

Wenn H={1\over 2m} p_i p_j \delta^{ij}, ist das Ergebnis die geodätische Gleichung:

$${D\over Dt} {ds^i\over dt} = 0$$

entlang der Kugel mit Geschwindigkeit${p^i\over m}$, und Sie können sehen, dass dies ein Großkreis mit konstanter Geschwindigkeit ist, durch Symmetrie oder formal, indem Sie die Gleichung lösen, nachdem Sie das Teilchen so gewählt haben, dass es anfänglich auf dem Äquator liegt, mit seiner Geschwindigkeit ganz in$\phi$Richtung in Standard-Kugelkoordinaten (oder wie Sie es bevorzugen).

Dieses Problem ist etwas zu trivial. Wenn Sie einen Fall suchen, in dem die Kotangensbündelbewegung interessant ist, sollten Sie eine potentielle Funktion auf der Kugel wählen oder die Bewegung in der Gruppenmannigfaltigkeit SO(3) betrachten, deren Lösung der Kreisel ist.