Momentum ist ein Kotangensvektor?

I) Haftungsausschluss: In dieser Antwort verwenden wir die (traditionelle) physikalische Definition von Tensoren unter Verwendung von Indizes und ihrer Transformationseigenschaften unter Koordinatentransformationen. Lassen Sie uns außerdem die Zeitabhängigkeit unterdrücken$t$der Einfachheit halber.

II) Lassen Sie den Verteiler$Q$der Konfigurationsraum sein . Der Lagrange$L:TQ\to \mathbb{R}$als Skalar transformiert

$$L~~\longrightarrow~~ L^{\prime}~=~L, \tag{1}$$

die Geschwindigkeit$v^i$als Vektor transformiert

$$v^i~~\longrightarrow~~ v^{\prime j}~=~\frac{\partial q^{\prime j}}{\partial q^i}v^i,\tag{2}$$

der kanonische Lagrange- Impuls

$$p_i~:=~ \frac{\partial L}{\partial v^i}\tag{3}$$

als Covektor transformiert

$$p_i~~\longrightarrow~~ p^{\prime}_j~=~\frac{\partial q^i}{\partial q^{\prime j}}p_i,\tag{4}$$

unter allgemeinen Koordinatentransformationen

$$q^i~\longrightarrow ~q^{\prime j}~=~ f^j(q)\tag{5}$$

im Konfigurationsbereich$Q$. Gl. (4) folgt aus der Kettenregel.

III) Ein Punkt im Tangentialbündel hat die Form

$$(q,v)~\in~TQ,\qquad v~=~v^i \frac{\partial}{\partial q^i}.\tag{6}$$

Beachten Sie, dass die Geschwindigkeit$v$ist eine unabhängige Variable, die sich als Vektor (2) unter allgemeinen Koordinatentransformationen (5) in den Konfigurationsraum transformiert$Q$.

IV) Der kanonische Lagrange-Impuls (3) kann als Schnitt betrachtet werden

$$TQ ~\ni~ (q,v) ~\stackrel{p}{\mapsto} ~(q,v; p_i\mathrm{d}q^i)~\in~T^{\ast}TQ \tag{7}$$

im Bündel$T^{\ast}TQ \to TQ$.

V) Lassen Sie uns zum Schluss der Vollständigkeit und dem Vergleich wegen das Hamiltonsche kanonische Momentum erwähnen (auch bezeichnet als$p$) in dem Fall, wo der Phasenraum$M$ist das Kotangensbündel$M=T^{\ast}Q$. Im Falle$M=T^{\ast}Q$, dem Hamiltonschen kanonischen Impuls$p$ist eine unabhängige Variable, die sich als Covektor (4) unter allgemeinen Koordinatentransformationen (5) im Konfigurationsraum transformiert$Q$. Ein Punkt im Tangentenbündel hat die Form

$$(q,p)~\in~T^{\ast}Q,\qquad p~=~p_i\mathrm{d}q^i.\tag{8}$$

Der Impuls ist ein Kovektor, weil er ein Gradient ist und Gradienten immer kovariant sind. Es tut, was es verspricht. Sie haben jedoch Recht, dass dies ein subtiler Punkt ist und auf den ersten Blick nicht besonders klar ist.

Für einen Lagrangian der Form$L=T-V$mit$V$unabhängig von$\dot q$, der kanonische Impuls ist gegeben durch

$$p=\frac{\partial L}{\partial \dot q}=\frac{\partial T}{\partial \dot q}.$$ Diese Ableitung misst, wie viel $T$Änderungen in Bezug auf kleine Änderungen in $\dot q$, wenn diese Änderungen klein genug sind, dass eine lineare Annäherung an $T$genügt. Dies ist genau die Linearität von $p$als Funktion von $\dot q$.

Das bedeutet, dass$p$ist eine Funktion über Inkremente in$\dot q$eher als ein funktionales über$\dot q$selbst. Das ist natürlich richtig: wenn Sie einen Konfigurationsraum haben$Q$, dann findet Lagrange-Mechanik statt$M=TQ$, das ist der Raum aller Konfigurationen$q$und die entsprechenden Geschwindigkeiten$\dot q$. Die Hamiltonsche Mechanik hingegen findet statt in$T^*M$- der Raum von linearen Formen über$TM$. Beachten Sie das hier$TM=TTQ$ist genau der Raum der Geschwindigkeitsinkremente (zusammen mit den Geschwindigkeiten selbst als Positionsinkremente).