Was sind die Hamilton-Gleichungen in Bezug auf eine nicht standardmäßige symplektische Form?

1. Allgemeiner sei eine Poisson-Mannigfaltigkeit gegeben $(M,\pi)$, Wo

   $$\pi ~=~ \frac{1}{2} \pi^{IJ} \frac{\partial}{\partial z^I} \wedge \frac{\partial}{\partial z^J}$$ ein Poisson-Bivektor ist, und $$\{ f, g\}_{PB}~=~\frac{\partial f}{\partial z^J}\pi^{IJ}\frac{\partial g}{\partial z^J}$$ ist die entsprechende Poisson-Klammer. Lassen Sie den Hamiltonian$H$eine global definierte Funktion sein$M$. Dann lauten Hamiltons Gleichungen $$\dot{z}^{I}~=~\{ z^I, H\}_{PB},$$ dh die Zeitentwicklung ist gegeben durch (minus) das Hamiltonsche Vektorfeld $$X_H~=~\{H,\cdot\}_{PB}.$$

2. Wenn die Poisson-Struktur invertierbar ist, dann$M$ist eine symplektische Mannigfaltigkeit mit symplektischer 2-Form

   $$\omega ~=~\frac{1}{2} \omega_{IJ}~ \mathrm{d}z^I \wedge \mathrm{d}z^J,$$ Wo$\omega_{IJ}$ist die inverse Matrix: $$\pi^{IJ}\omega_{JK}~=~\delta^I_K.$$

3. In kanonischen/ Darboux- Koordinaten

   $$(z^1, \ldots, z^{2n})~=~(q^1, \ldots, q^n,p_1,\ldots, p_n) ,$$ die obige Konstruktion reduziert sich auf den Standard-Poisson-Bivektor $$\pi~=~\frac{\partial}{\partial q^i} \wedge \frac{\partial}{\partial p_i},$$ und die standardmäßige symplektische 2-Form $$\omega ~=~ \mathrm{d}p_i \wedge \mathrm{d}q^i.$$

Ein Hamiltonianer$H:M\rightarrow \mathbb{R}$definiert ein Vektorfeld$X_H$durch die Gleichung