Intuition über Momentum Maps

Ich studiere Klassische Mechanik und es gibt ein Objekt, das kürzlich in dem Buch erschienen ist, über das ich keine physikalische Intuition bekommen kann. Die mathematische Definition lautet wie folgt:

Lassen M eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit einer sympletischen Form sein ω und vermute G wirkt links weiter M so dass die Handlung die sympletische Form behält. Das bedeutet, wenn δ G : M → M ist der zugehörige Diffeomorphismus G ∈ G , Dann

δ G ∗ ω = ω

Nun lass G sei die Lie-Algebra von G Und ⟨ , ⟩ : G ∗ × G → R die Paarung

⟨ φ , A ⟩ = φ ( A ) ,

wenn wir bezeichnen X A das Vektorfeld in M verbunden sein mit A dann sieht man das η = X A ⌟   ω ist geschlossen, weil die Aktion erhalten bleibt ω . In diesem Fall definieren wir eine Impulskarte als Funktion μ : M → G ∗ so dass

D ( ⟨ μ , A ⟩ ) = X A ⌟   ω .

Nun, für die Klassische Mechanik interessieren wir uns für den Fall M = T ∗ Q Wo Q ist die Konfigurationsmannigfaltigkeit.

In diesem Fall gehe ich davon aus, dass es eine gute Intuition darüber geben sollte, was Momentum-Maps wirklich sind und was sie darstellen. In Wahrheit lädt uns sogar der Name zu der Annahme ein, dass diese obige Definition einige wichtige Auswirkungen auf die Physik hat.

Welche Impulsabbildungen, die wie oben definiert sind, sind in diesem Fall in der Klassischen Mechanik wirklich? Was repräsentieren sie und was ist eine gute Intuition über sie?

Ich bin auf diese Frage gestoßen, als ich nach Referenzen auf Moment Maps gesucht habe. Ich bin mir nicht sicher, ob es jetzt zu spät ist, einen Kommentar zu hinterlassen, aber kannst du den Titel des Buches teilen?
@YuhangChen Das Buch, das ich studierte, als ich diese Frage stellte, war „Geometric Mechanics“ von Darryl D. Holm ( amazon.com/-/pt/dp/1848167741/… ). Es gab auch einige spezifische Hinweise zu Momentum-Maps, aber leider habe ich sie nicht zum Teilen gefunden. Ich hoffe das hilft!
Vielen Dank für Ihre sofortige Antwort (wenn man bedenkt, dass die Frage vor 4 Jahren gestellt wurde)! Ich habe auch ein ganzes Kapitel (mehr als 100 Seiten) Momentkarten in dem Buch "Symplectic technique in physics" von Guillemin und Sternberg gefunden. Ich denke, Ihr Buch sollte die bessere Wahl sein.

Antworten (1)

Die äquivariante Momentenkarte hat mehrere Anwendungen. Seine Bedeutung ist, dass es eine Kodierung der Lie-Gruppe bereitstellt G wirkt auf den Phasenraum und gibt Ihnen eine Möglichkeit, die Observablen zu finden, die den Erhaltungsgrößen / Generatoren der Symmetrie entsprechen G : Es definiert auch den Prozess der symplektischen Reduktion auf einen reduzierten Phasenraum .

Angesichts dessen

D ( ⟨ μ ( ˙ ) , G ⟩ ) = ω ( ρ ( G ) , ˙ )
Wo ρ ( G ) bezeichnet das (Killing)-Vektorfeld, das der infinitesimalen Aktion von zugeordnet ist G , die 1-Form ω ( ρ ( G ) , ˙ ) ist wegen geschlossen D 2 = 0 . Nimmt man an, dass die Gruppenwirkung hamiltonsch ist , dann nimmt man an, dass auch die Form exakt ist und somit eine glatte Funktion vorliegt F G mit D F G = ω ( ρ ( G ) , ˙ ) . Es wird auch angenommen, dass eine Hamilton-Aktion einen Lie-Algebra-Homomorphismus ergibt
G → C ∞ ( M ) , G ↦ F G
und sein Bild sind gerade die Erzeuger der Symmetrie im klassischen Sinne. Auf diese Weise liefert die Momentenkarte eine koordinatenfreie Beschreibung, wie sich die Lie-Algebra der Symmetrie in die vollständige Poisson-Algebra der Observablen einbettet. Für die Rotationsgruppe ist das Bild beispielsweise die Lie-Algebra des Drehimpulses (daher der Name!).

Man kann nun die Symmetrie nutzen, um den Phasenraum auf eine Fläche zu reduzieren , auf der die Erhaltungsgrößen konstant sind. Dies erfolgt durch Auswählen eines beliebigen regulären Werts von μ und nimmt sein Urbild und taucht dann die Gruppenaktion heraus. Diese Fläche ist unter dem Hamiltonschen Fluss invariant und bekommt ihre eigene Dynamik, was es uns erlaubt, den Rest des Phasenraums zu verwerfen, wenn wir nur an diesem speziellen Wert für die Ladungen interessiert sind, die die Symmetrie erzeugen.

Die Momentenkarte sagt Ihnen also, wie Sie "Flächen mit konstanten Ladungen" im gesamten Phasenraum finden.

Von besonderer Bedeutung ist der Fall einer Eichgruppe, die eingeschränkte Dynamik darstellt, wo die richtige Wahl natürlich dadurch vorgeschrieben ist, dass die Generatoren auf der Einschränkungsfläche verschwinden, also die richtige symplektische Reduktion ist μ − 1 ( 0 ) / G . Dies kann verwendet werden, um einen Überblick darüber zu geben, wie die BRST-Kohomologie die korrekte Algebra von eichinvarianten Observablen erhält, siehe diese Antwort von mir .

Intuition über Momentum Maps
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v