Wirkung des konjugierten Impulses auf TMTMTM und explizite Form

Die Einsformen im Kotangensraum entsprechen dem kanonischen Impuls.

Diese Aussage würde ich anzweifeln. Grundsätzlich der (Gesamtraum) des Kotangensbündels$T^\ast M$ ist die Menge aller 1-Formen von$M$. Ein Momentum ist also keine 1-Form an$T^\ast M$, es ist ein Punkt von$M$.

Es kann etwas geben, das Sie verwirren könnte, nämlich die tautologische 1-Form. Es gibt einen Vorzug$\theta\in\Omega^1(T^\ast M)$1-Form auf$T^\ast M$, was in gewisser Weise Impulsen entspricht, jedoch ist dies keine 1 -Form an$T^\ast M$, sondern ist eine einzelne, spezifische 1-Form an$T^\ast M$.

---

Ein Punkt von$T^\ast M$kann geschrieben werden als$(q,p)$was bedeutet, dass dies der Punkt ist, der aus dem Impuls p am Punkt besteht$q$. Die tautologische 1-Form wirkt auf eine Willkür$X_{(q,p)}\in T_{(q,p)}T^\ast M$Tangentenvektor (von$T^\ast M$) als

$$\theta_{(q,p)}(X_{(q,p)})=p(\pi^\ast X_{p,q}).$$ Was bedeutet das? Der Punkt $(q,p)$ist die 1-Form $p$bei $q$, So $p$kann auf einen Vektor bei wirken $q$, aber dies ist ein Vektor von $M$, nicht $T^\ast M$. So $\theta$projiziert zuerst den Tangentenvektor von $T^\ast M$zu einem Tangentenvektor von $M$über die kanonische Projektion $\pi: T^\ast M\rightarrow M$, und dann hat $p$handle danach.

Also, was Momentum tut$\theta$darstellen wird bestimmt durch welchen Punkt von$T^\ast M$Sie bewerten es an.

Mit der Basis${dq^i}$des Kotangensraums kann jeder Impuls geschrieben werden als$p=p_idq^i$.

Diese Aussage ist zwar richtig, aber das ist keine 1-Form auf dem Kotangensbündel, das ist sozusagen eine 1-Form des Kotangensbündels .

Aber wie sehen die Koeffizienten aus$p_i$sehen?

In der Hamiltonschen Mechanik, wie Sie wollen. Der Punkt ist, dass die Positionen und die Impulse unabhängige Variablen sind. Es steht Ihnen frei, eine beliebige Position anzugeben$q$und jeder Schwung$p$(an diesem Punkt$q$! ), und da dies die richtigen Anfangsbedingungen für Ihre Bewegungsgleichungen liefert, wird dann die Bewegung des Systems bestimmt.

Was Sie hier möglicherweise verwirrt, ist, dass, wenn Sie mit einem Lagrange-Formalismus beginnen, es eine Entsprechung (die eindeutig ist, wenn die Lagrange-Funktion die hessische Bedingung erfüllt) zwischen den N-Tolen gibt$(q,\dot{q})$Und$(q,p)$, was im Wesentlichen ein Vektorbündelisomorphismus zwischen ist$TM$Und$T^\ast M$.

Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass der Lagrange-Operator zeitunabhängig ist, was bedeutet, dass der Lagrange-Operator eine Funktion ist$L:TM\rightarrow\mathbb R$.

Legen Sie jetzt einen Punkt fest$q\in M$. Betrachten wir diesen Punkt als fest, dann für eine beliebige$\dot{q}\in T_q M$Geschwindigkeit (bei$q$), ist die Lagrange-Funktion eine Funktion$T_q M\rightarrow\mathbb R$in dem Sinne, dass es abbildet$\dot q\mapsto L(q,\dot{q})\in\mathbb R$. Diese Funktion ist im Allgemeinen keine lineare Funktion, aber wir können sie linearisieren. Lassen$v\in T_qM$sei ein beliebiger Vektor und betrachte

$$\mathbb{L}_{(q,\dot q)}(v)=\frac{d}{d\epsilon}L(q,\dot{q}+\epsilon v)|_{\epsilon=0}.$$ Dies ist eine lineare Karte auf $v$weil es eine Richtungsableitung ist und von Punkten abhängt $TM$. Also für fest $(q,\dot q)\in TM$, es ist eine lineare Abbildung $T_q M\rightarrow \mathbb R$, daher ist es ein Covektor in $T^\ast_q M$, benennen wir es um in $p(q,\dot q)$.

Kurz gesagt, in der Lagrange-Mechanik, dem kanonischen Impuls,$p(q,\dot q)\in T^\ast_q M$der verallgemeinerten Geschwindigkeit zugeordnet$(q,\dot q)\in TM$wirkt auf eine beliebige verallgemeinerte Geschwindigkeit$v\in T_q M$als

$$p(q,\dot q)(v)=\frac{d}{d\epsilon}L(q,\dot q+\epsilon v)|_{\epsilon=0}.$$ In lokalen Koordinaten, $$p(q,\dot q)(v)=\frac{d}{d\epsilon}L(q,\dot q+\epsilon v)|_{\epsilon=0}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}v^i,$$ und so $$p(q,\dot q)=\frac{\partial L(q,\dot q)}{\partial \dot q ^i}dq^i|_{q},$$ was natürlich die übliche Definition ist.

Die Impuls-1-Form wirkt auf die Elemente des Tangentialraums$v\in T_qM$folgendermaßen:

$$p(q,\dot q)(v) = p_i(q,\dot q)v^i = \frac{\partial L}{\partial {\dot q}^i}(q,\dot q)v^i$$