Eindimensionales System ein Hamiltonsches System?

Ein weiterer Ansatz, der sich von dem von Qmechanic unterscheidet. Beachten Sie, dass Ihre Differentialgleichung dies impliziert

$$\frac{1}{2}\dot{x}^2 -\frac{\beta^2}{2} x^2 (1-x)^2 =E\:,$$ mit $E=0$. Dies ist eine Erhaltungsgleichung für das System zweiter Ordnung $$\ddot{x} = -\frac{d}{dx} U(x)$$ Wo $$U(x) = -\frac{\beta^2}{2} x^2 (1-x)^2\:.$$ Dies ist ein 2D-Hamiltoniam-System, dessen Hamilton-Operator ist $$H(x,p)= \frac{p^2}{2} -\frac{\beta^2}{2} x^2 (1-x)^2\:.$$ Die Lösungen der anfänglichen ODE sind genau diejenigen, die die Hamilton-Gleichungen dieses neuen Systems lösen (eine ist $p= \dot{x}$) so dass die $$p(0):= \beta x(0) (1-x(0))\:.$$ Diese Vorgabe fixiert auch die Vorzeichen (ich nehme an $\beta>0$) durch Kontinuität der Lösungen. Eigentlich ist eine etwas genauere Analyse notwendig, wenn $x(0)=0$oder $x(0)=1$.

Nachtrag . Eigentlich gibt es noch eine noch einfachere Möglichkeit. Einfach definieren

$$H(x,p) := p\beta x(1-x)\:.$$ Die Hamiltonsche Gleichung für $x$ist nur Ihre Anfangsgleichung, die eine eindeutige Lösung zulässt, wenn Sie eine Anfangsbedingung festlegen $x(0)$und es hängt nicht von der Variable ab $p$und auf der verbleibenden Gleichung.