Symplektische Form im kovarianten Phasenraum

Dies ist genau die Essenz des "Covariant phase space"-Ansatzes, der von Ashtekar, Wald, Witten usw. entwickelt wurde. Siehe z. B. Lee & Wald (1990) . Es kann auf Teilchen- oder Feldtheorien und insbesondere auf Eichtheorien angewendet werden. Der Aufbau ist kurz wie folgt:

1- Betrachten Sie den Lösungsraum $\cal S$definiert als die Sammlung von Lösungen für Ihre gegebene Theorie mit Lagrange$\cal L[\phi]$und möglicherweise durch einige Randbedingungen eingeschränkt.

2- Die Variation von$\cal L$gibt die Bewegungsgleichungen und einen totalen Ableitungsterm an

$$\delta \cal L=E[\phi]\delta \phi+\partial_\mu \theta^\mu(\delta \phi)$$

3- Ein Tangentenvektor an einem Punkt$\phi\in \cal S$wird durch eine Feldstörung dargestellt$\delta \phi$die die linearisierten Feldgleichungen löst. Man kann auch eine Differentialform definieren$d_V\phi$als äußere Ableitung an$\cal S$.

4- Die kanonische Struktur aufbauen$\cal S$, nehmen Sie eine beliebige Cauchy-Fläche$\Sigma$in der Raumzeit und definieren die (prä)symplektische Form wie folgt

$$\Omega(\delta_1 \phi,\delta_2 \phi)=\int_\Sigma d\Sigma \,n_\mu \delta_1 \theta^\mu(\delta_2 \phi)- (1\leftrightarrow 2)$$ Wo$n$ist die Normale zur Hyperfläche und$d\Sigma$bezeichnet die Volumenform. Entsprechend kann man schreiben $$\Omega=\int_\Sigma d_V \theta$$ was eine 2-Form in Bezug auf die äußere Ableitung ist$d_V$An$\cal S$. Die obigen 2 Formen haben im Falle von Eichtheorien Entartungen. In diesem Fall sollte man quotieren$\cal S$von der Gruppe$\cal G_0$der reinen Eichtransformationen, dh aller Eichtransformationen, die lokal in der Masse wirken. Große Eichtransformationen (diejenigen, die nicht trivial an der Grenze wirken, überleben und umfassen die Symmetrien des Phasenraums).

5- Der Formalismus ist kovariant, da keine explizite Zerlegung in Felder erforderlich ist und die Auswahl von$\Sigma$ist willkürlich. Die Unabhängigkeit von$\Omega$aus$\Sigma$ist eine Folge davon, dass$\partial_\mu \omega^\mu=0$mit Hilfe der Bewegungsgleichungen. Das Paar$(\cal S, \Omega)$wird als kovarianter Phasenraum bezeichnet .

6- Die Analyse von (asymptotischen) Symmetrien und Erhaltungssätzen ist in diesem Formalismus sehr einfach. Aufbau des Generators einer Symmetrietransformation$\delta_\xi \phi$, einfach nehmen

$$\delta H_\xi\equiv \Omega (\delta \phi,\delta_\xi\phi).$$ Die Ladung$H_\xi$besteht wenn$\delta H_\xi$ist integrierbar, was äquivalent zur Bedingung ist$\cal{L}_{\delta_\xi}\Omega=0$, dh das$\delta_\xi\phi$ist eine symplektische Symmetrie (kanonische Transformation). Die Poisson-Klammer zwischen zwei Ladungen ist $$\{H_\xi,H_\zeta\}=\Omega (\delta_\zeta\phi,\delta\xi\phi)$$

Die gesuchte kovariante Poisson-Klammer für Lagrange-Theorien ist als Peierls-Klammer bekannt

$$\{ F,G \}~:=~\iint_{[t_i,t_f]^2}\!dt~dt^{\prime}~\sum_{I,K=1}^{2n} \frac{\delta F }{\delta z^I(t)}~G^{IK}_{\rm ret}(t,t^{\prime})~\frac{\delta G }{\delta z^K(t^{\prime})} - (F\leftrightarrow G),$$ Wo $G^{IK}_{\rm ret}(t,t^{\prime})$ist die retardierte Green-Funktion , siehe zB verschiedene Lehrbücher von Bryce S. DeWitt, und this & this Phys.SE Antworten von Benutzer Urs Schreiber.

Ok, ich habe ein bisschen herumgegraben und Folgendes gefunden (basierend auf Qmechanics Antwort, aber etwas allgemeiner).

Definieren Sie den Off-Shell-Phasenraum einfach als den Raum aller Feldkonfigurationen, der nicht unbedingt die Bewegungsgleichungen erfüllt. Klassische Observablen außerhalb der Schale sind analog Funktionen über dem Phasenraum außerhalb der Schale. Wir definieren die Peierls-Klammer zwischen zwei solchen Funktionalen als sei

$$\left\{ F[x], G[x] \right\} = \int dt' \int dt \, \frac{\delta F}{\delta x(t')} G_F(t', t) \frac{\delta G}{\delta x(t)},$$

Wo$G_F(t', t)$ist der Feynman-Propagator (zurückgeblieben minus fortgeschritten). Der entscheidende Punkt, den ich vorher nicht verstanden habe, ist das$G_F$ist eigentlich eine Funktion, die davon abhängt$x(t)$. Und es beschreibt nicht die Ausbreitung des gesamten Feldes$x$, nur eine lineare Fortpflanzung seiner infinitesimalen Fluktuation. Daher die höchst nicht triviale Abhängigkeit von$x$ist in der Peierls-Klammer kodiert.

Eines verstehe ich aber immer noch nicht. Die resultierende Struktur des Off-Shell-Phasenraums mit der Peierls-Klammer entspricht nicht dem üblichen Phasenraum (und ist tatsächlich unendlich größer). Wie ziehe ich diese Algebra auf den Phasenraum zurück?