Nichteuklidischer Phasenraum?

Question

Nichteuklidischer Phasenraum?

Sean E. Lake

In der klassischen Mechanik können die kanonischen Bewegungsgleichungen in Form von Poisson-Klammern wiedergegeben werden :

\begin{aligned} {Q_{ich}, F (Q, P)} & = \frac{\partial F}{\partial P_{ich}}, \\ {P_{ich}, F (Q, P)} & = - \frac{\partial F}{\partial Q_{ich}}, A N D \\ {H, F (Q, P)} & = - \frac{D F}{D T} . \end{aligned}

$\begin{align} \left\{q_i, F(\mathbf{q},\mathbf{p})\right\} &= \frac{\partial F}{\partial p_i}, \\ \left\{p_i, F(\mathbf{q},\mathbf{p})\right\} &= -\frac{\partial F}{\partial q_i},\ \mathrm{and} \\ \left\{H, F(\mathbf{q},\mathbf{p})\right\} &= -\frac{\operatorname{d} F}{\operatorname{d} t}. \end{align}$

Darunter versteht man, dass die $q_i$ erzeugt Übersetzungen in der $-p_i$ Richtung, $p_i$ im $q_i$ Richtung und $H$ (der Hamiltonian) durch die Zeit. Gibt es irgendetwas, das durch Hinzufügen eines Christoffel-Symbols wie einer Verbindung zu den kanonischen Gleichungen gewonnen werden kann (dh das Übersetzen des Phasenraumgradienten in eine kovariante Ableitung )?

Sprich konkret $V_j$ befindet sich in einem Vektorraum, der die Phasenraum-Mannigfaltigkeit tangiert (in einer Kombination von $\mathbf{q}$ Und $\mathbf{p}$ Richtungen oder in einem völlig unabhängigen Vektorraum). Ist es möglich, einen sinnvollen Phasenraum zu konstruieren, indem man die Poisson-Klammern definiert als:

\begin{aligned} {Q_{ich}, v_{J} (Q, P)} & = \frac{\partial v_{J}}{\partial P_{ich}} + {[Γ_{P}]}_{ich J}^{k} v_{k}, \\ {P_{ich}, v_{J} (Q, P)} & = - \frac{\partial v_{J}}{\partial Q_{ich}} - {[Γ_{Q}]}_{ich J}^{k} v_{k}, A N D \\ {H, v_{J} (Q, P)} & = - \frac{D v_{J}}{D T} - {[Γ_{T}]}_{ich J}^{k} v_{k}, \end{aligned}

$\begin{align} \left\{q_i, V_j(\mathbf{q},\mathbf{p})\right\} &= \frac{\partial V_j}{\partial p_i} + \left[\Gamma_p\right]_{i\hphantom{k}j}^{\hphantom{i}k} V_k, \\ \left\{p_i, V_j(\mathbf{q},\mathbf{p})\right\} &= -\frac{\partial V_j}{\partial q_i} - \left[\Gamma_q\right]_{i\hphantom{k}j}^{\hphantom{i}k} V_k,\ \mathrm{and} \\ \left\{H, V_j(\mathbf{q},\mathbf{p})\right\} &= -\frac{\operatorname{d} V_j}{\operatorname{d} t}- \left[\Gamma_t\right]_{i\hphantom{k}j}^{\hphantom{i}k} V_k, \end{align}$ oder eine analoge Konstruktion?

Ist der resultierende gekrümmte Phasenraum immer ausdrückbar durch eine Transformation von Koordinaten und Hamiltonoperator unter Verwendung gewöhnlicher kanonischer Bewegungsgleichungen?

AccidentalFourierTransform

Sie können Ihre Poisson-Klammern nicht durch eine kanonische Koordinatentransformation ändern (das ist so ziemlich die Definition von kanonisch). Auf jeden Fall solltest du mal googelngeomeotry of poisson brackets

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Nichteuklidischer Phasenraum?

Sie können Ihre Poisson-Klammern nicht durch eine kanonische Koordinatentransformation ändern (das ist so ziemlich die Definition von kanonisch). Auf jeden Fall solltest du mal googelngeomeotry of poisson brackets

QMechaniker · Answer 1

Gegeben sei eine symplektische Mannigfaltigkeit $(M,\omega)$ , ist es natürlich, darüber nachzudenken, welche tangentiale Bündelverbindung
$\begin{matrix} (1) & \nabla : Γ (T M) \times Γ (T M) \to Γ (T M) \end{matrix}$ $\nabla: \Gamma(TM)\times\Gamma(TM)\to \Gamma(TM) \tag{1}$ wählen?
Generell ist es natürlich zu wählen $\nabla$ torsionsfrei sein
$\begin{matrix} (2) & T = 0, \end{matrix}$ $T~=~0,\tag{2}$ und kompatibel $\begin{matrix} (3) & \nabla ω = 0 \end{matrix}$ $\nabla \omega~=~0\tag{3}$ mit der Symplektik $2$ -form $\omega$ .
Man kann (über Teilung der Einheit) zeigen, dass eine torsionsfreie & kompatible Verbindung besteht $\nabla$ existiert auf einer parakompakten Mannigfaltigkeit, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Beachten Sie, dass eine solche Verbindung $\nabla$ ist alles andere als einzigartig.
Das Dreifache $(M,\omega,\nabla)$ wird als Fedosov-Mannigfaltigkeit bezeichnet und ist die geometrische Eingabe für das Fedosov-Sternprodukt $\star$ bei der Deformationsquantisierung .
Die Fedosov-Quantisierung kann verwendet werden, um kovariante Ableitungen und Zeitentwicklung für Tensorfelder zu definieren, vgl. Ref. 1-2. Die klassische Konstruktion kann in der extrahiert werden $\hbar\to 0$ Grenze.
In besonderen Fällen die symplektische Mannigfaltigkeit $(M,\omega)$ ist mit einer kompatiblen Metrik ausgestattet $g$ , vgl. Kähler-Verteiler . In solchen Situationen ist die metric $g$ hebt die Levi-Civita-Verbindung auf einzigartige Weise hervor . Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.
Lassen Sie uns schließlich erwähnen, dass die symplektische Mannigfaltigkeit $M=T^{\ast}Q$ ist ein Kotangensbündel, das mit der tautologischen symplektischen Struktur (vgl. zB diesen Phys.SE-Beitrag) und der Basismannigfaltigkeit ausgestattet ist $Q$ mit einer Verbindung ausgestattet ist, führt dies auch zu interessanten Möglichkeiten, z. B. einer Super-Poisson-Klammer, vgl. Ref. 3.

Verweise:

BV Fedosov, Eine einfache geometrische Konstruktion der Deformationsquantisierung, J. Diff. Geom. 40 (1994) 213.
BV Fedosov, Deformationsquantisierung und Indextheorie, Mathematical Topics, Vol. 3, No. 9, Akademie-Verlag, Berlin, 1996.
B. DeWitt, Supermannigfaltigkeiten, Cambridge Univ. Presse, 1992; Abschnitt 6.7.

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Sean E. Lake

AccidentalFourierTransform

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