Verwirrung bezüglich der Eigenschaften von Poisson-Klammern

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Verwirrung bezüglich der Eigenschaften von Poisson-Klammern

SK Dash

Ich habe gerade angefangen, etwas über Poisson-Klammern zu lernen, und bin auf die folgende Eigenschaft gestoßen

{Q_{ich}, Q_{J}} = 0

$\{q_i,q_j\}=0$

Und

{P_{ich}, P_{J}} = 0.

$\{p_i,p_j\}=0.$

Wo $p$ Und $q$ sind jeweils die Impuls- und Positionskoordinaten, dh Phasenraumkoordinaten.

Jetzt sind Poisson-Klammern definiert als

{F, G} = \frac{\partial F}{\partial Q_{ich}} \frac{\partial G}{\partial P_{ich}} - \frac{\partial G}{\partial Q_{ich}} \frac{\partial F}{\partial P_{ich}}

$\{F,G\}=\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial G}{\partial p_i}-\frac{\partial G}{\partial q_i}\frac{\partial F}{\partial p_i}$

i

$i$ Und

j

$j$ hier stehen für die

i

$i$ 'th und

j

$j$ 'ten Raumkoordinaten.

{Q_{ich}, Q_{J}} = 0

$\{q_i,q_j\}=0$

\Rightarrow {Q_{ich}, Q_{J}} = \frac{\partial Q_{ich}}{\partial Q_{ich}} \frac{\partial Q_{J}}{\partial P_{ich}} - \frac{\partial Q_{J}}{\partial Q_{ich}} \frac{\partial Q_{ich}}{\partial P_{ich}} = 0

$\Rightarrow \{q_i,q_j\}=\frac{\partial q_i}{\partial q_i}\frac{\partial q_j}{\partial p_i}-\frac{\partial q_j}{\partial q_i}\frac{\partial q_i}{\partial p_i} =0$ Aber es fällt mir schwer, es zu beweisen. Ich weiß, dass die zweite Amtszeit

(\frac{\partial q_{j}}{\partial q_{i}})

$(\frac{\partial q_j}{\partial q_i})$ ist null, weil die i-ten und j-ten Raumkoordinaten orthogonal sind und daher keine Änderung erfolgt

q_{i}

$q_i$ beim Wechseln

q_{j}

$q_j$ . Ich weiß jedoch nicht, wie ich beweisen soll, dass der erste Term Null ist, und hier brauche ich Hilfe.

Zusammenfassend ist meine Frage, das zu beweisen

\frac{\partial Q_{ich}}{\partial Q_{ich}} \frac{\partial Q_{J}}{\partial P_{ich}} = 0

$\frac{\partial q_i}{\partial q_i}\frac{\partial q_j}{\partial p_i}=0$ Jede Hilfe wird sehr geschätzt.

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Benutzer245141 · Answer 1

Als $p$ Und $q$ hängen funktional nicht voneinander ab

\frac{\partial Q_{ich}}{\partial P_{J}} = 0

$\frac{\partial q_i}{\partial p_j} = 0$ und auch

\frac{\partial P_{ich}}{\partial Q_{J}} = 0

$\frac{\partial p_i}{\partial q_j} = 0$ für alle

i, j

$i,j$

Benutzer248824 · Answer 2

Ich glaube da liegt ein Missverständnis auf Ihrer Seite vor.

\frac{\partial Q_{J}}{\partial Q_{ich}} = δ_{ich J},

$\frac{\partial q_j}{\partial q_i} = \delta_{ij},$ Wo

δ_{i j}

$\delta_{ij}$ ist das sogenannte Kronecker-Delta .

Ich hoffe das hilft soweit.

ich verstehe das $\frac{\partial q_i}{\partial q_j}=\delta_{ij}$ und auch das $\delta_{ij}=0$ für $i\neq j$ aber meine Frage bezieht sich nicht auf die $\frac{\partial q_i}{\partial q_j}$ Term, ich möchte, dass der Beweis für den anderen Term in der Poisson-Klammer Null ist, genauer gesagt brauche ich den Beweis für die folgende Aussage $\frac{\partial q_j}{\partial p_i}=0$

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SK Dash

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Benutzer245141

Benutzer248824

SK Dash

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