Die Eigenschaft der Poisson-Klammer als notwendige und hinreichende Bedingung für die kanonische Transformation?

Bedingung (45.10) definiert im Wesentlichen einen Symplektomorphismus . Einige Autoren definieren eine kanonische Transformation (CT) als Symplektomorphismus, aber nicht Landau & Lifshitz (L&L). Stattdessen definieren sie einen CT als Transformation

$$\tag{1} (q^i,p_i)~~\mapsto~~ \left(Q^i(q,p,t),P_i(q,p,t)\right)$$ [zusammen mit Auswahlmöglichkeiten eines Hamiltonianers $H(q,p,t)$und ein Kamiltonier $K(Q,P,t)$; und wo $t$ist der Zeitparameter], der erfüllt $$\tag{2} (p_i\mathrm{d}q^i-H\mathrm{d}t) -(P_i\mathrm{d}Q^i -K\mathrm{d}t) ~=~\mathrm{d}F$$ für eine erzeugende Funktion $F$, siehe Text zwischen Gl. (45.5-6).

Da ein Symplektomorhismus (45.10) nichts aussagt$H$Und$K$, reicht die Bedingung (45.10) nicht aus, um ein CT nach L&L zu sein.

Verschiedene Definitionen von CT und ihre Zusammenhänge werden in diesem Phys.SE-Beitrag diskutiert .