Das Phasenraumvolumen ändert sich bei der kanonischen Transformation nicht

Mit Blöcken multiplizieren:

$A= \left[ {\begin{array}{cc} \partial _{q}Q & \partial _{p}Q \\ \partial _{q}P & \partial _{p}P \\ \end{array} } \right]$,$A^{t}= \left[ {\begin{array}{cc} (\partial _{q}Q)^{t} & (\partial _{p}Q)^{t} \\ (\partial _{q}P)^{t} & (\partial _{p}P)^{t} \\ \end{array} } \right]$und deshalb$JA^{t}= \left[ {\begin{array}{cc} (\partial _{p}Q)^{t} & (\partial _{p}P)^{t} \\ -(\partial _{q}Q)^{t} & -(\partial _{q}P)^{t} \\ \end{array} } \right]$.

Jetzt zum Beispiel$(AJA^{t})_{11}=\partial _{q}Q(\partial _{p}Q)^{t}-\partial _{p}Q(\partial _{q}Q)^{t}$.

Denken Sie daran, dass dies eine Gleichung auf Matrizen ist. Schreiben Sie zum Beispiel die Matrizen explizit$(\partial _{q}Q)_{ij}=\frac {\partial Q_{i}} {\partial q_{j}}$,$(\partial _{p}Q)^{t}_{ij}=\frac {\partial Q_{j}} {\partial q_{i}}$, und setzen Sie sie in die obige Gleichung ein, führen Sie die Matrixmultiplikation durch und erhalten Sie die Poisson-Klammern.