Liouville-Theorem-Analog in verallgemeinerten Geschwindigkeiten?

Question

Liouville-Theorem-Analog in verallgemeinerten Geschwindigkeiten?

Volumen
Physik
Phasenraum
komplexe Systeme
Koordinatensystem
Hamiltonscher Formalismus

Lo Scrondo

Das Liouville-Theorem betrifft die Dynamik im Phasenraum: Existiert ein Analogon im Konfigurationsraum, und wenn nicht, könnten Sie eine Begründung / einen Beweis dafür geben?

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Liouville-Theorem-Analog in verallgemeinerten Geschwindigkeiten?

Das Phasenraumvolumen ändert sich bei der kanonischen Transformation nicht
Zustandssumme in Kugelkoordinaten
Warum ist der Phasenraum eines einfachen Pendels auf einem Zylinder definiert und nicht auf T2T2\mathbb{T}^{2}?
Ist eine kanonische Transformation gleichbedeutend mit einer Transformation, die Volumen und Ausrichtung beibehält?
Integrationskonstanten in der Hamilton-Jacobi-Theorie
Die Eigenschaft der Poisson-Klammer als notwendige und hinreichende Bedingung für die kanonische Transformation?
Wie wird die Beziehung zwischen den alten und den neuen kanonischen Variablen begründet?
Kanonische Transformation der Hamilton-Gleichung
Warum impliziert eine Punkttransformation im Konfigurationsraum, dass P=∂q∂QpP=∂q∂QpP = \frac{\partial q}{\partial Q} p im Phasenraum?
Warum ist der Satz von Liouville offensichtlich?

Valter Moretti · Answer 1

Hier ist ein direktes Gegenbeispiel, um die Antwort von Qmechanic zu vervollständigen. Nehmen $L= q \dot{q}^2/2$ für $q>0$ . Als Konsequenz

P = Q \dot{Q}

$p = q\dot{q}$ und so

D P = Q D \dot{Q} + \dot{Q} D Q .

$dp = q d\dot{q} + \dot{q} dq\:.$ Daher ist das kanonische Volumen in Bezug auf Lagrange-Variablen

D P \land D Q = Q D \dot{Q} \land D Q .

$dp\wedge dq = q d\dot{q} \wedge dq\:.$ Da die linke Seite durch Lösungen der Bewegungsgleichung und erhalten bleibt

q = q (t)

$q=q(t)$ entlang dieser Lösungen zeitlich nicht konstant ist, ist das nicht möglich

D \dot{Q} \land D Q

$d\dot{q} \wedge dq$ ist auch entlang der Bewegung des Systems konstant. Das scheinbar natürliche Volumen, das aus Lagrange-Variablen konstruiert wird, ist also nicht zeitlich konstant bei der Bewegung des Systems, anders als das kanonische Volumen.

Mille grazie @Valter Moretti. Wie auch immer, in einem Buch, das ich gerade lese, heißt es, dass das Liouville-Theorem nicht im Konfigurationsraum gilt , "es sei denn, die $q_i$ s sind einfache kartesische Koordinaten" ... könnten Sie einen Einblick darüber geben?
Wenn die Koordinaten kartesisch sind, ist Legendres Transformation trivial und $p_k$ ist proportional zu $\dot{q}^k$ mittels eines gemeinsamen Koeffizienten unabhängig von $k$ . So kann die kanonische Volumenform sicher mit geschrieben werden $d\dot{q}^k$ anstelle von $dp_k$ und ein konstanter Faktor. Ich bin mir aber nicht sicher, ob das der einzige Fall ist...
Ich denke, das reicht aus, dass die Determinante der Jacobi-Matrix der Legendre-Karte einen Wert hat $a \neq 0$ ständig...

QMechaniker · Answer 2

Anders im Kotangensbündel-Phasenraum $T^{\ast}M$ , gibt es im Basiskonfigurationsraum kein allgemeingültiges Liouville-Theorem (wobei die Zeitentwicklung divergenzfrei ist). $M$ noch in seinem Tangentenbündel $TM$ . Für den Anfang braucht der Begriff der Divergenz einen Begriff des Volumens und keines von beiden $M$ noch $TM$ ist generisch mit einer kanonischen Volumenform ausgestattet.

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