Zustandssumme in Kugelkoordinaten

Question

Zustandssumme in Kugelkoordinaten

Moritz

Angenommen, ich schreibe den Hamilton-Operator/die Energie meines Systems in sphärischen Koordinaten ( $r,\theta,\varphi$ ) mit konjugierten Impulsen ( $p_r,p_\theta,p_\varphi$ ).

Wie berechne ich die Partitionsfunktion?

Wenn

Z = \int e^{- β H} D^{3} R D^{3} P = \int e^{- β H} R^{2} Sünde (θ) J (P_{R}, P_{θ}, P_{φ}) D R D θ D φ D P_{R} D P_{θ} D P_{φ},

$Z=\int e^{-\beta H}d^3r\;d^3p=\int e^{-\beta H}r^2\sin(\theta)J(p_r,p_\theta,p_\varphi)drd\theta d\varphi\;dp_rdp_\theta dp_\varphi,$

was sollte $J$ Sei?

Bearbeiten: Um meine Frage zu ergänzen, habe ich versucht, die Impulse als Funktionen von zu schreiben $p_x,p_y,p_z$ (und damit in Abhängigkeit von $x,y,z$ auch) aber es ist ein Durcheinander und ich denke nicht, dass das der gute Ansatz ist.

Jakob1729

Hast du eine Vermutung, was

J

$J$ mag sein?

Moritz

@ jacob1729 Für mich ist es 1, aber ich weiß nicht warum.

Jakob1729

Entschuldigung, ich habe das anfangs falsch gelesen (dachte, Sie würden sphärische Polare auferlegen

p

$p$ Raum). Ich vermute, die Antwort besteht darin, die Änderung von Variablen als kanonische Transformation zu betrachten, bin mir aber nicht so sicher.

Kosmas Zachos

Verwandte . Der Satz von Liouville bewahrt Phasenraumvolumina bei kanonischen Transformationen.

Kosmas Zachos

peeterjoot.wordpress.com/2013/02/11/… Könnte helfen.

Antworten (1)

Zustandssumme in Kugelkoordinaten

Entschuldigung, ich habe das anfangs falsch gelesen (dachte, Sie würden sphärische Polare auferlegen $p$ Raum). Ich vermute, die Antwort besteht darin, die Änderung von Variablen als kanonische Transformation zu betrachten, bin mir aber nicht so sicher.
Verwandte . Der Satz von Liouville bewahrt Phasenraumvolumina bei kanonischen Transformationen.

Kosmas Zachos · Answer 1

Ich erspare Ihnen die Kotangensbündel und Differentialgeometrie und fasse nur zusammen, dass tatsächlich $J=1/r^2 \sin \theta$ so dass der gesamte Phasenraum Jacobi 1 ist,

D X D j D z D P_{X} D P_{j} D P_{z} = D R D θ D ϕ D P_{R} D P_{θ} D P_{ϕ} .

$dx dy dz ~ dp_x dp_y dp_z = dr d\theta d\phi ~dp_r dp_\theta dp_\phi .$

Eine direkte (Blut, Schweiß und Tränen) Ableitung ist in Peter Joots Blog verfügbar .

Der Grund dafür ist, dass Kartesisch zu Sphärisch eine kanonische Punkttransformation ist, sodass Phasenraumvolumina erhalten bleiben (Liouvilles Theorem – das auch für Bewegung gilt, da dies auch eine kanonische Transformation ist, die durch den Hamiltonian erzeugt wird).

Betrachten Sie zur Begründung ein freies Teilchen der Masse m = 1. Der Hamiltonian ist dann $\vec p ^2/2$ , Erstellen

\frac{D \vec{R}}{D T} = {\vec{R}, {\vec{P}}^{2}} / 2 = \vec{P} .

$\frac{d\vec r}{dt} = \{\vec r , \vec p ^2 \}/2 = \vec p.$ Es ist einfach in kartesischen Koordinaten, aber in sphärischen Koordinaten, wenn das Linienelement gegeben ist

D \vec{R} = \hat{R} D R + \hat{θ} R D θ + \hat{ϕ} R Sünde θ D ϕ,

$d\vec r= \hat r ~ dr +\hat \theta ~ r d\theta + \hat \phi ~ r \sin\theta d\phi,$ du hast

\dot{\vec{R}} = \hat{R} \dot{R} + \hat{θ} R \dot{θ} + \hat{ϕ} R Sünde θ \dot{ϕ} = \vec{P} = \hat{R} P_{R} + \hat{θ} \frac{1}{R} P_{θ} + \hat{ϕ} \frac{1}{R Sünde θ} P_{ϕ} .

$\dot{\vec r}= \hat r ~ \dot{r} +\hat \theta ~ r \dot{\theta} + \hat \phi ~ r \sin\theta ~\dot{\phi} \\ =\vec p= \hat r ~ p_r +\hat \theta ~ \frac{1}{r} p_\theta + \hat \phi ~\frac{1}{ r \sin\theta} p_\phi ~~.$

Dies sind die kanonisch konjugierten Impulse, die aus dem kanonischen Verfahren erhalten wurden, und z. B. $p_\phi$ ist nicht die Projektion von $\vec p$ in die Richtung $\phi$ !

Sie haben dieses kovariante Bit zuvor im Gradienten gesehen, der in sphärischen Koordinaten ausgedrückt wird.

\nabla = \hat{R} \partial_{R} + \hat{θ} \frac{1}{R} \partial_{θ} + \hat{ϕ} \frac{1}{R Sünde θ} \partial_{ϕ},

$\nabla = \hat r ~ \partial_r +\hat \theta ~ \frac{1}{r} \partial_\theta + \hat \phi ~\frac{1}{ r \sin\theta} \partial_\phi ,$ nicht zufällig, da es proportional zur Quantisierung des Impulses ist, wenn man über die klassische Mechanik hinausgeht.

Zweimal ist der Hamiltonian in dieser Sprache

2 H = {\vec{P}}^{2} = P_{R}^{2} + \frac{P_{θ}^{2}}{R^{2}} + \frac{P_{ϕ}^{2}}{R^{2} {Sünde}^{2} θ},

$2H= \vec p^2 = p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + \frac{p_\phi^2}{r^2\sin^2\theta },$ (und die Liouville-Einform wäre

\vec{p} \cdot d \vec{r} = p_{r} d r + p_{θ} d θ + p_{ϕ} d ϕ

$\vec p \cdot d\vec r = p_r dr + p_\theta d\theta +p_\phi d\phi$ . Bei Komponenten,

p_{r} = \dot{r}, p_{θ} / r = r \dot{θ}, p_{ϕ} / r \sin θ = r \sin θ \dot{ϕ}

$p_r=\dot{r}, \quad p_\theta /r = r \dot{\theta}, \quad p_\phi/ r \sin\theta= r\sin \theta ~ \dot{\phi}$ . )

Das Volumenelement im Phasenraum ist dann von oben

D^{3} \vec{R} D^{3} \vec{P} = R^{2} Sünde θ D R D θ D ϕ \frac{1}{R^{2} Sünde θ} D P_{R} D P_{θ} D P_{ϕ},

$d^3 \vec r ~ d^3 \vec p= r^2 \sin \theta ~ dr d\theta d\phi ~ \frac{1}{r^2 \sin \theta} dp_r dp_\theta dp_\phi,$ kollabiert auf die oberste Linie.

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Jakob1729

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