Satz von Liouville in sphärischen Koordinaten

Ich versuche, die Invarianz von zu überprüfen

$$d\omega=\prod_{i=1}^{3N}dq_idp_i$$ im Falle $N=1,$und unter einer kanonischen Transformation in sphärische Koordinaten. Ich weiß zu lassen $$q_1=r\sin\theta\cos\phi,\quad q_2=r\sin\theta\sin\phi\quad, q_3=r\cos\theta,$$ aber was wäre die angemessene Transformation für die Impulse? Das heißt, wie berechnet man den Jacobi-In $$\int\prod_{i=1}^{3}dq_idp_i=\int J\prod_{i=1}^{3}dQ_idP_i$$ explizit und finde das $J=1$wie aus dem Satz von Liouville bekannt? Ich weiß, dass der Hamiltonoperator für ein freies Teilchen in sphärischen Koordinaten ist $$\mathcal{H}=\frac{1}{2m}\left(\dot{r}^2+\left(r\dot{\theta}\right)^2+\left(r\sin\theta\dot{\phi}\right)\right)=\frac{1}{2m}\left(p_r^2+\frac{p_{\theta}^2}{r^2}+\frac{p_{\phi}^2}{r^2\sin^2\theta}\right),$$ aber ich sehe nicht, wie ich das verwenden könnte, um zu sagen, was $p_i$womit verbunden ist $P_i.$