Ist die Liouville-Gleichung ein Axiom der klassischen statistischen Mechanik?

Warum es eines weiteren Axioms bedarf

Um die Liouville-Gleichung herzuleiten, benötigen Sie neben Ihren Annahmen tatsächlich ein weiteres Axiom. So etwas wie: "Es gibt keine Nettoerzeugung oder -zerstörung von Partikeln irgendeiner Art während der Entwicklung des Partikelsystemzustands". Der einfachste Weg, die Notwendigkeit dieses Axioms zu verstehen, besteht darin, ein System zu zitieren, für das die Liouville-Gleichung nicht gelten kann, obwohl Partikel während ihrer gesamten Lebensdauer eine dynamische Entwicklung durchlaufen, die durch Hamiltons Gleichungen beschrieben wird: ein System von Partikeln, die eine weit vom Gleichgewicht entfernte chemische Reaktion durchlaufen. In einem solchen System werden Reaktantenteilchenarten durch die Reaktion verbraucht und verschwinden aus dem Phasenraum. An ihrer Stelle erscheinen Reaktionsproduktpartikel im Phasenraum. Außerdem wird chemische Energie in kinetische Energie (oder umgekehrt) umgewandelt, so dass eine Produktart "plötzlich" erscheinen an einem anderen Punkt im Phasenraum als dem, wo die entsprechend verbrauchten Teilchen der Reaktandenspezies verschwunden sind. Die Gleichungen von Liouville würden konzeptionell durch ein gekoppeltes Gleichungssystem ersetzt, eines für jede Art$j$, der Form:

$$\frac{\partial\,\rho_j(X,\,t)}{\partial\,t} = \{H,\,\rho_j\} + \sum\limits_k \int_\mathcal{P} M_{j\,k}(X,\,X^\prime)\,\rho_k(X^\prime,\,t)\,\mathrm{d}\Gamma^\prime$$

wobei das Integral über den gesamten Phasenraum ist$\mathcal{P}$,$\Gamma$ist das durch die Volumenform und den Kern definierte Maß$M_{j\,k}$drückt ein detailliertes stöchiometrisches Gleichgewicht zwischen den chemisch reagierenden Spezies sowie andere physikalische Prinzipien wie Energieerhaltung, Impuls und strenge Zunahme der Entropie mit der Zeit aus. Beachten Sie, dass ich "netto" Erzeugung oder Zerstörung gesagt habe: Liouvilles Gleichung würde funktionieren, wenn die Reaktion im Gleichgewicht wäre.

Vervollständige Axiome

Die folgenden Axiome (1. und 2. entsprechen Ihrem) liefern Ihnen die Liouville-Gleichung:

1. Axiom 1 : Phasenraum ist a$2\,N$dimensional$C^2$vielfältig$\mathcal{P}$;
2. Axiom 2 : Punkte im Phasenraum entwickeln sich immer und nur mit einem Strömungsparameter$t$durch die durch a definierten Hamilton-Gleichungen$C^2$Hamiltonian$H:\mathcal{P}\times \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, letzteres möglicherweise zeitvariant (daher die domain$\mathcal{P}\times\mathbb{R}$);
3. Axiom 3 : Die Vollzustände von Teilchen sind Punkte$\mathcal{P}$Entwicklung gemäß Axiom 2, und es gibt während der Entwicklung des Zustands des Teilchensystems keine Nettoerzeugung oder -zerstörung irgendeines Teilchens irgendeiner Spezies.

Von vollständigen Axiomen zu Liouvilles Gleichung

Aus diesen Axiomen ergibt sich folgende Folgerungskette:

1. Schlußfolgerung 1 : Aus den Axiomen 1. und 2. folgere, daß irgendein$X\in T_p\,\mathcal{P};\;\forall p\in \mathcal{P}$ausgedrückt in kanonischen Koordinaten ( dh solchen, für die die Hamilton-Gleichungen gelten), die von der Hamilton-Strömung nach Lie gezogen werden, entwickelt sich entsprechend$\dot{X} = A(t)\,X$Wo$A(t)\in\mathfrak{sp}(N,\,\mathbb{R})$, also die symplektische 2-Form$\omega(X,\,Y)\stackrel{def}{=} X^T\,\Omega\,Y$wobei für den Spezialfall kanonischer Koordinaten$\Omega =\left(\begin{array}{cc}0&-1_N\\1_N&0\end{array}\right)\;\forall p\in\mathcal{P}$wird unter der Abbildung konserviert$\mathcal{P}\mapsto \Phi(H,\,t)\,\mathcal{P},\,\forall t\in\mathbb{R}$durch den Hamiltonschen Fluss induziert. (In der Tat, an jedem beliebigen Punkt$p\in\mathcal{P}$finden$N$anders$C^2$Hamiltonoperatoren, so dass die Tangenten an ihre Flüsse sich überspannen$T_p\,\mathcal{P}$daraus abzuleiten, dass die Lie-Ableitung von$\omega$in irgendeiner Richtung ist also nichts$\mathrm{d}\omega=0$aus Cartans Formel in Bezug auf Lie- und Exterior-Derivate, aber diese Informationen dienen unseren unmittelbaren Bedürfnissen). Beachten Sie, dass Folgerung 1 unabhängig davon gilt, ob der Hamilton-Operator zeitvariabel ist oder nicht. Im letzteren Fall ist der Hamilton-Operator entlang des Flusses nicht konstant, aber der Fluss behält immer noch die symplektische Form.
2. Schlußfolgerung 2 : Aus Schlußfolgerung 1 haben wir sofort die Volumenform$\Gamma = \omega^N$($N^{th}$äußere Kraft) wird unter Hamiltonschen Flüssen konserviert. Leiten Sie also den Satz von Liouville (im Gegensatz zur Gleichung) ab. Alternativ impliziert die in Schlußfolgerung 1 gezeigte Erhaltung der symplektischen Form, daß die Jacobi-Matrix der Transformation$\mathcal{P}\mapsto \Phi(H,\,t)\mathcal{P}$ist eine symplektische Matrix (Mitglied von$\mathrm{Sp}(N,\,\mathbb{R})$), die immer eine Einheitsdeterminante hat. Somit bleibt die Volumenform erhalten.
3. Folgerung 3 : Die Volumenform ist aber auch die Jacobiform der Transformation$\mathcal{P}\mapsto \Phi(H,\,t)\,\mathcal{P}$Und$J(p,\,\Phi(H,\,0))=J(p,\,\mathrm{id})=1$. Da die Volumenform erhalten bleibt, ist die Jacobi$J(p,\,\Phi(H,\,t))=1,\forall p\in\mathcal{P},\forall t\in \mathbb{R}$. Daher$\Phi$ist überall eine lokale Bijektion (Umkehrsatz). Alternativ können wir die gleiche Schlussfolgerung direkt aus Inferenz 1 ziehen, was impliziert, dass die Jacobi-Matrix der Transformation$\mathcal{P}\mapsto \Phi(H,\,t)\mathcal{P}$ist eine symplektische Matrix (Mitglied von$SP(N,\,\mathbb{R})$), die niemals singulär ist und tatsächlich immer eine Einheitsdeterminante hat.
4. Folgerung 4 : Leiten Sie aus den Axiomen 2 und 1 ab, dass die Abstandsfunktion in kanonischen Koordinaten definiert ist durch$d(p_1,\,p_2) = (p_1-p_2)^T\,(p_1-p_2)$, Null iff$p_1=p_2$, zwischen beliebigen Paaren von Punkten$p_1,\,p_2\in\mathcal{P}$muss eine stetige Funktion des Durchflussparameters sein$t$(kontinuierlich in Bezug auf die Topologie mit Basis von offenen Kugeln, die durch diese Abstandsfunktion definiert sind);
5. Schlußfolgerung 5 : Aus Schlußfolgerung 3, egal$p\in\mathcal{P}$Und$t\in \mathbb{R}$, gibt es eine offene Menge$\mathcal{U}_p$klein genug, so dass$\Phi(H,\,t):\mathcal{U}_p\to\Phi(H,\,t)(\mathcal{U}_p)$ist eine Bijektion. Nun stellt sich die Frage, ob$\Phi(H,\,t)$kann jeden Punkt außerhalb abbilden $\mathcal{U}_p$hinein$\Phi(H,\,t)(\mathcal{U}_p)$(welche Situation machen würde$\Phi(H,\,t)$eine lokale Bijektion, aber global viele zu eins für einige$t\in\mathbb{R}$). Allerdings, wenn zwei oder mehr Punkte auf einen Punkt abgebildet werden$\tilde{p}\in\Phi(H,\,t)(\mathcal{U}_p)$, aus Schlußfolgerung 4. folgern Sie das$\exists t$klein genug, dass die beiden gewählten Urbilder von$\tilde{p}$beide liegen drin$\mathcal{U}_p$, was der lokalen Bijektivität widerspricht. (Informell können aus Schlussfolgerung 4 mehrere Punkte einer Funktion nur aus Abbildungen entlang verbundener "gegabelter" Flusslinien entstehen. Zoomen Sie also nahe genug an den Gabelungspunkt heran und widersprechen Sie damit der lokalen Bijektivität, was zeigt, dass Gabelungen unmöglich sind). Wiederholung der Begründung für$-t$lässt uns ableiten, dass mehrere Punkte unmöglich sind und$\Phi(H,\,t):\mathcal{P}\to\mathcal{P}$ist eine globale Bijektion (in der Tat ein Symplektomophismus im Lichte von Inferenz 1, aber auch diese Information ist weiter für unsere Bedürfnisse);
6. Schlußfolgerung 6 : Leiten Sie aus Schlußfolgerung 5 und Axiom 3 ab, ob es eine Zahl gibt$M$von Partikeln in jeder Teilmenge$\mathcal{V}\subseteq\mathcal{P}$, dann gibt es genau$M$Partikel hinein$\Phi(H,\,t)(\mathcal{V})$. Aus Schlussfolgerung 2. leite das ab$\mathcal{V}$Und$\Phi(H,\,t)(\mathcal{V})$gleiche Volumina haben. Daraus schließen Sie, dass die durchschnittliche Partikeldichte in jeder Teilmenge$\mathcal{V}\subseteq\mathcal{P}$ist konstant, wenn sich die Teilchenzustände und Teilmengen durch Hamilton-Ströme entwickeln;
7. Schlußfolgerung 7 : Wende Schlußfolgerung 6 auf eine kleine offene Menge an, die gemäß einem geeigneten Begrenzungsverfahren geschrumpft ist, um daraus die Dichtefunktion abzuleiten$\rho(p,\,t)$am Punkt$p$und zur zeit$t$muss gleich der Dichte am Punkt sein$\Phi(H,\,-\mathrm{d}t)\,p$zum Zeitpunkt$t-\mathrm{d}t$. Setzen Sie diese Wörter in Symbole:$\mathcal{L}_{-X}\rho=\frac{\partial\,\rho}{\partial\,t}$, Wo$X$ist das Vektorfeld, das den Hamiltonschen Fluss tangiert$\Phi$. Dies ist natürlich$\{H,\,\rho\}=\frac{\partial\,\rho}{\partial\,t}$, oder Liouville-Gleichung.

Zirkularität anderer Beweise

Letztendlich glaube ich nicht, dass sich Beweise für Liouvilles Gleichung, die auf dem Divergenzsatz beruhen, von den obigen unterscheiden: Ich denke, dass sie Axiom 3 stillschweigend als "offensichtlich" einführen (obwohl ich hoffe, dass ich es am Anfang meiner Antwort gezeigt habe dass es nicht immer gilt) und dann sind die Kontinuitätsgleichung und inkompressible Strömungen einfach ein Ausdruck dieses stillschweigend vorausgesetzten Axioms. Ich denke also nicht, dass diese "Beweise" kreisförmig sind, nur etwas schlecht geschrieben, wenn stillschweigende Annahmen verwendet werden.

Zusammenfassung

User Image fasst das alles gut zusammen (ich war vielleicht zu schlau, um den letzten Schritt zu machen):

Für Axiom 3 haben Sie jedoch gezeigt, dass Axiom 3$\Rightarrow \frac{d \varrho}{d t} = 0$. Die andere Richtung$\frac{d \varrho}{d t} = 0 \Rightarrow$Axiom 3 wird in jedem Lehrbuch leicht diskutiert (Trajektorien beginnen, enden oder kreuzen sich nicht usw.). Also haben wir tatsächlich Axiom 3$\Leftrightarrow \frac{d \varrho}{d t} = 0$wenn wir im Kontext von Axiom 1+2 sind, zB klassische Mechanik. Daher ist die Gleichung von Liouville ein Axiom.

und tatsächlich ist mein Axiom 3 in Gegenwart der beiden anderen logisch äquivalent zu Liouvilles Gleichung. Meine Version ist vielleicht physikalisch transparenter, aber offen für Interpretationen, und daher ist die Behauptung von Liouvilles Gleichung als Axiom vielleicht prägnanter und präziser. Die Antwort auf die Titelfrage lautet also, dass die Liouville-Gleichung tatsächlich als Axiom hinzugefügt werden muss und in Anwesenheit der Axiome 1 und 2 die Bedeutung hat, dass die Teilchenzahl aller Arten erhalten bleibt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System in der Phasenzelle befindet$d\Gamma(t)$zum Zeitpunkt$t$Ist

$$P(t)=\rho(q,p,t)d\Gamma(t).$$ Die zeitliche Entwicklung der Trajektorien und die mögliche explizite Zeitabhängigkeit von $\rho$wird dabei ebenfalls berücksichtigt. Jetzt unendlich klein $dt$Zeit später $$P(t+dt)=\rho(q+dq,p+dp,t+dt)d\Gamma(t+dt),$$ Da die Wahrscheinlichkeit normiert ist (z. B. wenn wir das Phasenvolumen mit der Zeitentwicklung fließen lassen, sollte es sich nicht ändern), müssen diese beiden gleich sein, aber nach dem Satz von Liouville haben wir $d\Gamma(t)=d\Gamma(t+dt)$, Die $\rho$Ausdrücke müssen übereinstimmen, also haben wir $$0=\rho(q+dq,p+dp,t+dt)-\rho(q,p,t)=\frac{\partial\rho}{\partial q}dq+\frac{\partial\rho}{\partial p}dp+\frac{\partial\rho}{\partial t}dt,$$ woraus wir haben (durch "Teilen" durch $dt$) $$\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial\rho}{\partial p}\dot{p}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0,$$ was gleich ist $$\{H,\rho\}=\frac{\partial\rho}{\partial t},$$ das ist Liouvilles Gleichung.

Jetzt, im Gleichgewicht , postulieren wir$\rho$explizit zeitunabhängig zu sein (als Definition des Gleichgewichts), dann haben wir

$$\{H,\rho\}=0,$$ So $\rho$ist eine Bewegungskonstante.

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Bearbeiten:

Um den Schritt mit der Handwelle zu rechtfertigen ($P(t)=P(t+dt)$), betrachten Sie dies für den gesamten Phasenraum$\mathcal{P}$, Wir müssen haben

$$1=\int_{\mathcal{P}}\rho(q,p,t)d\Gamma(t).$$ Nach dem Satz von Liouville bleibt der Phasenfluss erhalten $d\Gamma$, ist also zeitunabhängig. Damit das Integral zeitunabhängig ist, muss es also der Integrand sein.

Dies ist immer noch ein bisschen handgewellt, da das Integral über dem Phasenraum stattfindet, während wir unsere Zeitableitung als "entlang der Zeitentwicklung" betrachten, aber ich denke, dies kann weiter formalisiert werden, indem man den Phasenfluss auf das Ganze wirken lässt ganzzahlig, z. indem man zuerst nimmt

$$1=\int_{\mathcal{P}}\rho(q,p,t)d\Gamma,$$ und dann nehmen $$1=\int_{\Phi_t(\mathcal{P})}\rho\ d\Gamma,$$ und Vergleich der beiden (wobei $\Phi_t$ist der Phasenfluss).

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Edit2:

Entschuldigung für die Massenbearbeitungen, aber ich habe gerade nachgesehen, und meine vorherige Intuition scheint richtig zu sein. Hier soll etwas Differentialgeometrie verwendet werden.

Die Liouville-Form ist$d\Gamma$(nicht das$d$hier ist nur eine Notation, keine äußere Ableitung), die in kanonischen (Darboux-) Koordinaten gegeben ist durch$d\Gamma=dq^1\wedge...\wedge dq^n\wedge dp_1\wedge...\wedge dp_n$.

Die Phasendichte selbst definiert eine (möglicherweise) zeitabhängige$2n$-form als$\rho(q,p,t)d\Gamma$. Lassen$\Phi_t$sei der Phasenfluss und betrachte

$$\frac{d}{dt}|_{t=0}\int_{\phi_t(\mathcal{P})}\rho d\Gamma=\frac{d}{dt}\int_{\mathcal{P}}(\Phi_t)^*(\rho d\Gamma)=\int_\mathcal{P}\frac{d}{dt}(\Phi^*_t\rho\Phi^*_td\Gamma)=\int_\mathcal{P}\left(\mathcal{L}_X\rho+\frac{\partial\rho}{\partial t}\right)d\Gamma+\rho\mathcal{L}_Xd\Gamma.$$ Hier $X=d\Phi/dt|_{t=0}$das Hamiltonsche Vektorfeld, alle Zeitableitungen werden angenommen $t=0$, erschien die partielle Zeitableitung, weil $\rho$hat auch eine explizite Zeitabhängigkeit, und der letzte Term ist nach dem Satz von Liouville Null.

Da Integrale diffeomorphismusinvariant sind, muss diese Ableitung Null sein, außerdem muss dies für jede Wahrscheinlichkeitsdichte gelten$\rho$, also muss der Integrand selbst verschwinden, also haben wir

$$\mathcal{L}_X\rho+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0,$$ Und $X$ist das gleiche wie bei dir $\vec{v}$, das ist also eigentlich Liouvilles Gleichung.