Berechnung der Teilchenzahl im Phasenraum

Ich schaue mir hier den ersten Teil von Frage 7 an (ich bin ein Mathematiker, der versucht, sich selbst etwas Physik beizubringen, dies ist keine Hausaufgabe, also brauche ich nur Hinweise)! Ich habe Mühe, den Aufbau zu verstehen, werde aber erklären, was ich getan habe.

Die Anzahl der Teilchen im System ist gleich:

$$\begin{equation*} \int_{p_1}^{p_2}\int_{x_1}^{x_2}f(x,p,t)~dx~dp = \int_{p_1}^{p_2}\int_{x_1}^{x_2}f_1~dx~dp = N \end{equation*}$$ Wo $[p_1,p_2]$ist der Wertebereich, den der Impuls jedes Teilchens annimmt, und $[x_1,x_2]$ist der Wertebereich, den die Position jedes Partikels einnimmt. Um diese Bereiche auszuarbeiten, berechne ich die Bewegungsgleichung für ein Teilchen im System - ich habe dies mit den Hamilton-Gleichungen gemacht, aber ich werde die Details überspringen, weil ich denke, dass es allgemein bekannt ist, dass dies eine einfache harmonische Bewegung ist: $$\begin{equation*} \ddot{x}=-\omega_1^2x \end{equation*}$$

die Lösung hat$x=A\cos(\omega_1t)+B\sin(\omega_1t)$Wo$A$,$B$sind Integrationskonstanten. Aber um die Reichweite zu erarbeiten$x$Und$p$Ich muss den Wert dieser Integrationskonstanten kennen, habe aber nicht genügend Informationen, daher bin ich mir nicht sicher, was ich tun soll.

Angenommen, ich wüsste es$A$Und$B$, wäre folgende Antwort richtig:$x$würde dann Werte übernehmen$[-\sqrt{A^2+B^2},\sqrt{A^2+B^2}]$, und verwenden$p=m\dot{x}$, wir hätten:

$$\begin{equation*} p=Bm\omega_1\cos{\omega_1t}-Am\omega_1\sin{\omega_1t} \end{equation*}$$

und daher$p$Werte aufnehmen würde$[-m\omega_1\sqrt{A^2+B^2},m\omega_1\sqrt{A^2+B^2}]$. Setzen Sie diese in das obige Integral ein und verwenden Sie die Tatsache, dass$f_1$konstant ist ergibt:

$$\begin{equation*} N=f_1(2\sqrt{A^2+B^2})(2m\omega_1\sqrt{A^2+B^2}) = 4f_1m\omega_1(A^2+B^2) \end{equation*}$$

Ich habe das Gefühl, das kann nicht richtig sein$E_1$kommt nicht ins Spiel, und angesichts der Vorlesungsnotizen sollte ich wahrscheinlich Liouvilles Theorem verwenden, ich bin mir nur nicht sicher, wo.