Bestimmen, welche Generierungsfunktion für die kanonische Transformation verwendet werden soll

So verstehe ich es: Nehmen wir an, Sie haben einige Koordinaten$p_i$und einige Momente$q_i$. Sie wollen Transformationen finden

$$Q_i\equiv Q_i(q_i,\,...,\,q_n,\,p_i,...,\,p_n,\,t)\qquad P_i\equiv P_i(q_i,\,...,\,q_n,\,p_i,...,\,p_n,\,t)$$

Diese Variablen$p_i$,$q_i$,$Q_i$, Und$P_i$muss die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen erfüllen:

$$\dot{q}_i=\frac{\partial H}{dp_i},\quad \dot{p}_i=-\frac{\partial H}{dq_i},\quad \dot{Q}_i=\frac{\partial K}{dP_i},\quad \dot{P_i} = -\frac{\partial K}{dQ_i}$$

Wo$K$ist der transformierte Hamiltonoperator$K\equiv K(Q,\,P,\,t)$.

Um die kanonische Transformation durchzuführen, können wir möglicherweise die Funktion einführen$F=F_1$, Wo

$$P_i \dot{Q}_i-K+\frac{dF_1}{dt}=p_i \dot{q}_i-H$$

oder wir könnten vorstellen$F=F_2-Q_iP_i$, und wir haben somit

$$-\dot{P}_i Q_i-K+\frac{dF_2}{dt}=p_i \dot{q}_i-H$$

Ähnlich für die erzeugenden Funktionen für$F_3$Und$F_4$.

Nachdem wir ihre Unterschiede verstanden haben, müssen wir uns fragen, wie wir sie verwenden. Was Sie verwenden, basiert auf dem, was Sie wissen. Wenn ich finden will$F_1$, ich integriere$p_i$gegenüber$q_i$Und$-P_i$gegenüber$Q_i$, und kombinieren Sie das Ergebnis, um den gesamten Wert für zu finden$F_1$. Ein ähnlicher Prozess folgt für die Identitäten für$F_2$,$F_3$, Und$F_4$. Nun, wenn ich das gegenteilige Problem habe – nämlich ich habe$F_1$, und ich möchte die Koordinaten und/oder Impulse finden – dann nehme ich den Teil in Bezug auf$q_i$finden$p_i$und die partielle in Bezug auf$Q_i$, nimm das Negativ, und ich finde$P_i$.

Wenn ich deine Frage richtig verstehe, hast du eine Reihe von$Q$ist und$P$'s, und Sie finden möchten$F$. Sie können alles auswählen$F$Sie wollen - Sie müssen nur die Definition der erzeugenden Funktion wie oben angegeben ändern.

Hoffe das hilft. Diese Folien könnten auch hilfreich sein: http://users.physics.harvard.edu/~morii/phys151/lectures/Lecture20.pdf