Randbedingungen für die Variationsrechnung im Phasenraum und unter kanonischen Transformationen

Question

Randbedingungen für die Variationsrechnung im Phasenraum und unter kanonischen Transformationen

dennismoore94

Das ist vielleicht eine blöde Frage, aber ich verstehe sie einfach nicht. In der Hamiltonschen Mechanik bei der Untersuchung der Bedingungen für a $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})\rightarrow(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})$ Transformation zu kanonisch ist, beginnt man mit

{\dot{Q}}_{ich} P^{ich} - H (Q, P, T) = {\dot{Q}}_{ich} P^{ich} - \bar{H} (Q, P, T) + \frac{D}{D T} W (Q, Q, T)

$\dot{q}_ip^i-H(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p},t)= \dot{Q}_iP^i-\bar{H}(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P},t)+\frac{d}{dt}W(\boldsymbol{q},\boldsymbol{Q},t)$ Wo

\bar{H}

$\bar{H}$ ist der transformierte Hamiltonoperator, und

W

$W$ ist die erzeugende Funktion (jetzt eine Funktion von

q

$\boldsymbol{q}$ Und

Q

$\boldsymbol{Q}$ ). Dieser Begriff sollte das Prinzip von Hamilton nicht brechen

δ \int_{T_{1}}^{T_{2}} D T \frac{D}{D T} W (Q, Q, T) = δ W (Q, Q, T) |_{T_{2}} - δ W (Q, Q, T) |_{T_{1}} = 0 - 0 = 0 .

$\delta\int_{t_1}^{t_2} dt\frac{d}{dt}W(\boldsymbol{q},\boldsymbol{Q},t)=\delta W(\boldsymbol{q},\boldsymbol{Q},t)|_{t_2}-\delta W(\boldsymbol{q},\boldsymbol{Q},t)|_{t_1}=0-0=0 .$ Aber ich verstehe nicht, warum die Variation von

W

$W$ sollte an den Endpunkten verschwinden (sagen wir at

t_{1}

$t_1$ ). Expandieren führt zu:

δ W (Q, Q, T) |_{T_{1}} = {(\frac{\partial W}{\partial Q_{ich}})}_{T_{1}} \underset{= 0}{\underset{⏟}{δ Q_{ich} (T_{1})}} + {(\frac{\partial W}{\partial Q_{ich}})}_{T_{1}} δ Q_{ich} (T_{1}) = {(\frac{\partial W}{\partial Q_{ich}})}_{T_{1}} δ Q_{ich} (T_{1}) .

$\delta W(\boldsymbol{q},\boldsymbol{Q},t)|_{t_1}=\left(\frac{\partial W}{\partial q_i}\right)_{t_1}\underbrace{\delta q_i(t_1)}_{=0}+ \left(\frac{\partial W}{\partial Q_i}\right)_{t_1}\delta Q_i(t_1)=\left(\frac{\partial W}{\partial Q_i}\right)_{t_1}\delta Q_i(t_1).$

Q

$\boldsymbol{Q}$ ist selbst eine Funktion von

q

$\boldsymbol{q}$ Und

p

$\boldsymbol{p}$ , So

δ Q_{ich} (T_{1}) = {(\frac{\partial Q_{ich}}{\partial Q_{k}})}_{T_{1}} \underset{= 0}{\underset{⏟}{δ Q_{k} (T_{1})}} + {(\frac{\partial Q_{ich}}{\partial P_{k}})}_{T_{1}} δ P_{k} (T_{1}) = {(\frac{\partial Q_{ich}}{\partial P_{k}})}_{T_{1}} δ P_{k} (T_{1}) .

$\delta Q_i(t_1)=\left(\frac{\partial Q_i}{\partial q_k}\right)_{t_1}\underbrace{\delta q_k(t_1)}_{=0}+\left(\frac{\partial Q_i}{\partial p_k}\right)_{t_1}\delta p_k(t_1)=\left(\frac{\partial Q_i}{\partial p_k}\right)_{t_1}\delta p_k(t_1).$ Es scheint, als ob wir auch die Variation von brauchten

p

$\boldsymbol{p}$ an den Endpunkten zu verschwinden, und ich verstehe das nicht, weil (zumindest in kartesischen Koordinaten)

p = m \dot{q}

$\boldsymbol{p}=m\dot{\boldsymbol{q}}$ und die Geschwindigkeit kann entlang der ursprünglichen und der veränderten Orbitale sogar an den Endpunkten unterschiedlich sein (sie können in völlig unterschiedliche Richtungen zeigen), also im Allgemeinen

δ \dot{q} (t_{1}) \neq 0

$\delta \dot{\boldsymbol{q}}(t_1)\neq 0$ . Was mache ich falsch? Kann mir bitte jemand dabei helfen?

Trevor Kafka

Endpunkte werden während der Pfadvariation festgehalten, sodass die Variation jeder Funktion an den Endpunkten null ist.

dennismoore94

Endpunkte sind in der Tat festgelegt (

δ q (t_{1}) = δ q (t_{2}) = 0

$\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0$ ), sondern für eine Funktion

f (q, p)

$f(\boldsymbol{q,p})$ ,

δ f (q, p) = 0

$\delta f(\boldsymbol{q,p})=0$ würde brauchen

δ p (t_{1}) = δ p (t_{2}) = 0

$\delta p(t_1)=\delta p(t_2)=0$ auch und ich kann nicht sehen, wie das Fixieren nur der Endpunkte (und nicht der Derivate!) Diese Bedingung garantiert.

Trevor Kafka

Ich glaube, Sie verwirren

δ p

$\delta p$ Und

p

$p$ . Wir variieren beides

q

$q$ Und

p

$p$ wenn wir in einem Variationsprinzip arbeiten, aber beide halten

q

$q$ Und

p

$p$ an den Endpunkten des Pfades fixiert.

δ q = δ p = 0

$\delta q = \delta p = 0$ an den Endpunkten, auch wenn die Werte von

q

$q$ Und

p

$p$ sind selbst ungleich Null.

dennismoore94

OK, ich glaube, das ist, was ich eigentlich nicht verstehe: hier

δ p (t_{1}) = δ p (t_{2}) = 0

$\delta p(t_1)=\delta p(t_2)=0$ ist das gleiche wie

δ \dot{q} (t_{1}) = δ \dot{q} (t_{2}) = 0

$\delta \dot{q}(t_1)=\delta \dot{q}(t_2)=0$ wäre in der Lagrange-Mechanik (wiederum in kartesischen Koordinaten gedacht), aber in der Lagrange-Mechanik haben wir diese Art von Bedingung für die Geschwindigkeit nicht. Oder wir?

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Randbedingungen für die Variationsrechnung im Phasenraum und unter kanonischen Transformationen

Endpunkte werden während der Pfadvariation festgehalten, sodass die Variation jeder Funktion an den Endpunkten null ist.
Endpunkte sind in der Tat festgelegt ( $\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0$ ), sondern für eine Funktion $f(\boldsymbol{q,p})$ , $\delta f(\boldsymbol{q,p})=0$ würde brauchen $\delta p(t_1)=\delta p(t_2)=0$ auch und ich kann nicht sehen, wie das Fixieren nur der Endpunkte (und nicht der Derivate!) Diese Bedingung garantiert.
Ich glaube, Sie verwirren $\delta p$ Und $p$ . Wir variieren beides $q$ Und $p$ wenn wir in einem Variationsprinzip arbeiten, aber beide halten $q$ Und $p$ an den Endpunkten des Pfades fixiert. $\delta q = \delta p = 0$ an den Endpunkten, auch wenn die Werte von $q$ Und $p$ sind selbst ungleich Null.
OK, ich glaube, das ist, was ich eigentlich nicht verstehe: hier $\delta p(t_1)=\delta p(t_2)=0$ ist das gleiche wie $\delta \dot{q}(t_1)=\delta \dot{q}(t_2)=0$ wäre in der Lagrange-Mechanik (wiederum in kartesischen Koordinaten gedacht), aber in der Lagrange-Mechanik haben wir diese Art von Bedingung für die Geschwindigkeit nicht. Oder wir?

QMechaniker · Answer 1

Das sind sehr gute Fragen.

Beginnen wir mit den alten Phasenraumvariablen $(q^k,p_{\ell})$ . Die Hamiltonsche Aktion ist
$\begin{matrix} (A) & S_{H} = \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T L_{H}, L_{H} := {\dot{Q}}^{J} P_{J} - H (Q, P, T) . \end{matrix}$ $S_H~=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt ~L_H, \qquad L_H~:=~\dot{q}^j p_j - H(q,p,t).\tag{A}$ Seine infinitesimale Variation lautet $\begin{matrix} (B) & δ S_{H} = Massenbedingungen + Grenzbegriffe, \end{matrix}$ $\delta S_H ~=~ \text{bulk-terms} ~+~ \text{boundary-terms},\tag{B}$ Wo $\begin{matrix} (C) & Massenbedingungen = \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T (\frac{δ S_{H}}{δ Q^{J}} δ Q^{J} + \frac{δ S_{H}}{δ P_{J}} δ P_{J}) \end{matrix}$ $\text{bulk-terms}~=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt \left(\frac{\delta S_H}{\delta q^j}\delta q^j + \frac{\delta S_H}{\delta p_j}\delta p_j \right)\tag{C}$ erbringen die Hamilton-Gleichungen, und wo $\begin{matrix} (D) & Grenzbegriffe = {[P_{J} \underset{= 0}{\underset{⏟}{δ Q^{J}}}]}_{T = T_{ich}}^{T = T_{F}} = 0 \end{matrix}$ $\text{boundary-terms}~=~\left[p_j\underbrace{\delta q^j}_{=0} \right]_{t=t_i}^{t=t_f}~=~0\tag{D}$ verschwinden, wie sie sollten, sagen wir wegen $^1$ , essentielle/Dirichlet-Randbedingungen (BCs) $\begin{matrix} (E) & Q^{J} (T_{ich}) = Q_{ich}^{J} Und Q^{J} (T_{F}) = Q_{F}^{J} . \end{matrix}$ $q^j(t_i)~=~q^j_i\qquad\text{and}\qquad q^j(t_f)~=~q^j_f. \tag{E}$ Beachten Sie, dass die Impulse $^2$ $p_j$ sind an der Grenze unbeschränkt.
Als nächstes betrachten wir neue Phasenraumvariablen $(Q^k,P_{\ell})$ . Die Aktion von Typ 1 lautet $^3$
$S_{1} := \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T L_{1} = S_{K} + {[F_{1} (Q, Q, T)]}_{T = T_{ich}}^{T = T_{F}}, S_{K} := \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T L_{K},$ $S_1~:=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt ~L_1~=~S_K+\left[ F_1(q,Q,t) \right]_{t=t_i}^{t=t_f}, \qquad S_K~:=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt ~L_K,$ $\begin{matrix} (F) & L_{1} := L_{K} + \frac{D F_{1} (Q, Q, T)}{D T}, L_{K} := {\dot{Q}}^{J} P_{J} - K (Q, P, T), \end{matrix}$ $L_1~:=~L_K+\frac{dF_1(q,Q,t)}{dt}, \qquad L_K~:=~ \dot{Q}^j P_j - K(Q,P,t),\tag{F}$ wo die alten Positionen $q^j=q^j(Q,P,t)$ sind implizite Funktionen der neuen Phasenraumvariablen $(Q^k,P_{\ell})$ . Seine infinitesimale Variation lautet $\begin{matrix} (G) & δ S_{1} = Massenbedingungen + Grenzbegriffe, \end{matrix}$ $\delta S_1 ~=~ \text{bulk-terms} ~+~ \text{boundary-terms},\tag{G}$ Wo $\begin{matrix} (H) & Massenbedingungen = \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T (\frac{δ S_{1}}{δ Q^{J}} δ Q^{J} + \frac{δ S_{1}}{δ P_{J}} δ P_{J}) \end{matrix}$ $\text{bulk-terms}~=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt \left(\frac{\delta S_1}{\delta Q^j}\delta Q^j + \frac{\delta S_1}{\delta P_j}\delta P_j \right)\tag{H}$ ergeben Kamiltons Gleichungen, und wo $\begin{matrix} (ICH) & Grenzbegriffe = {[\underset{= 0}{\underset{⏟}{(P_{J} + \frac{\partial F_{1}}{\partial Q^{J}})}} δ Q^{J} + \frac{\partial F_{1}}{\partial Q^{ich}} \underset{= 0}{\underset{⏟}{δ Q^{J}}}]}_{T = T_{ich}}^{T = T_{F}} = 0 \end{matrix}$ $\text{boundary-terms}~=~\left[\underbrace{\left(P_j+\frac{\partial F_1}{\partial Q^j}\right)}_{=0}\delta Q^j +\frac{\partial F_1}{\partial q^i}\underbrace{\delta q^j}_{=0} \right]_{t=t_i}^{t=t_f}~=~0\tag{I}$ verschwinden, wie sie sollten. Ein Nachteil besteht darin, dass es nicht trivial ist, die Dirichlet-BCs (E) in die neuen Phasenraumvariablen umzuwandeln $(Q^k,P_{\ell})$ .

--

$^1$ Alternativ könnte man natürliche BCs oder vielleicht eine Mischung davon auferlegen.

$^2$ Beachten Sie, dass es in QM mit dem HUP in Konflikt geraten würde , BCs gleichzeitig einem kanonisch konjugierten Paar aufzuerlegen.

$^3$ Notationskonventionen: Kamiltonisch $K\equiv\bar{H}$ und Erzeugungsfunktion vom Typ 1 $F_1\equiv G_1\equiv W$ .

Ah, jetzt sehe ich! Es ist nicht $\delta Q^i$ (und damit nicht $\delta p_k$ ), die verschwinden muss (und was sowieso nicht passieren könnte), aber es ist "Koeffizient", was Sie zu den bekannten kanonischen Bedingungen für die erzeugende Funktion führt. Danke, schöne Antwort :)

Randbedingungen für die Variationsrechnung im Phasenraum und unter kanonischen Transformationen

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Trevor Kafka

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QMechaniker

dennismoore94

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