Modifiziertes Hamilton-Prinzip, das ein System durch zu viele Randbedingungen überfordert

Question

Modifiziertes Hamilton-Prinzip, das ein System durch zu viele Randbedingungen überfordert

Physik
Phasenraum
Randbedingungen
klassische Mechanik
Hamiltonscher Formalismus
Variationsprinzip

kwiley555

In der Hamilton-Mechanik wird gezeigt, dass eine Version des Hamilton-Prinzips ein System gemäß den gleichen Bewegungsgleichungen wie der Lagrange- und damit der Newton-Formalismus entwickelt. Insbesondere Vermietung $\delta$ zeigen eine Variation des Weges durch den Phasenraum an,

δ \int_{T_{1}}^{T_{2}} (P_{ich} {\dot{Q}}_{ich} - H (P_{ich}, Q_{ich}, T)) D T = 0

$\delta \int_{t_1}^{t_2} \big(p_i \dot{q}_i - H(p_i,q_i,t)\big)dt = 0$ Es wird gezeigt, dass es die gleichen Bewegungsgleichungen erzeugt wie diejenigen, die durch die Legendre-Transformation der Lagrange-Bewegungsgleichungen gefunden werden. Wenn wir die Euler-Lagrange-Gleichungen für den obigen Integranden berechnen, finden wir im Wesentlichen

{\dot{P}}_{ich} + \frac{\partial H}{\partial Q_{ich}} = 0, {\dot{Q}}_{ich} - \frac{\partial H}{\partial P_{ich}} = 0.

$\dot{p}_i + \frac{\partial H}{\partial q_i} = 0\text{, } \dot{q}_i - \frac{\partial H}{\partial p_i} = 0.$ Da dies nun beide Bewegungsgleichungen erster Ordnung sind, benötigen wir

2 n

$2n$ Randbedingungen, um eine Lösung zu erhalten, wo

n

$n$ ist die Anzahl der Teilchen. Dies ist vollkommen konsistent mit dem Lagrange-Formalismus, der hatte

2 n

$2n$ Randbedingungen aufgrund seiner

n

$n$ verschiedene Bewegungsgleichungen zweiter Ordnung.

Eine wichtige Sache zu beachten ist, dass seit

p_{i} {\dot{q}}_{i} - H (p_{i}, q_{i}, t)

$p_i\dot{q}_i - H(p_i,q_i,t)$ enthält Nr

{\dot{p}}_{i}

$\dot{p}_i$ Abhängigkeit, die Variation in

p_{i} (t)

$p_i(t)$ muss an den Endpunkten des Pfades nicht Null sein. Dies ist bei nicht der Fall

q_{i} (t)

$q_i(t)$ weil das

{\dot{q}}_{i}

$\dot{q}_i$ Abhängigkeit führt zum Auftreten von Randtermen, die auf Null gesetzt werden müssen, um die Bewegungsgleichungen zu erhalten.

Nun, was die Randbedingungen betrifft, macht das Sinn. Damit der Weg bei gegebener Newtonscher Mechanik eindeutig angegeben ist, benötigen wir

2 n

$2n$ Randbedingungen. Dies können entweder die üblichen Newtonschen Anfangspositionen und Geschwindigkeiten/Impulse sein, oder es können die Anfangs- und Endpositionen sein. Beides ist mathematisch gesehen vollkommen akzeptabel. Müssten wir bei der modifizierten Hamilton-Prinzip-Variation erzwingen, dass die Variationen in den Impulsen zum Anfangs- und Endzeitpunkt ebenfalls null sind, würde dies bedeuten

2 n

$2n$ zusätzliche Randbedingungen, die ein Newtonsches System im Allgemeinen überbeschränken würden.

Meine Verwirrung ist jedoch folgende: Wenn Lehrbücher (insbesondere Goldstein) das Erzeugen von Funktionen in Betracht ziehen, verlangen sie, dass der Integrand gegenüber der Addition einer Gesamtzeitableitung einer Funktion unveränderlich ist

F (q_{i}, p_{i}, t)

$F(q_i,p_i,t)$ der Phasenraumkoordinaten. Durch das Hinzufügen einer solchen Funktion werden jedoch im Allgemeinen einige hinzugefügt

{\dot{p}}_{i}

$\dot{p}_i$ Abhängigkeit zum Integranden, der dann Randterme zu den Bewegungsgleichungen hinzufügt, es sei denn, wir verlangen, dass die

p_{i} (t)

$p_i(t)$ Variationen an den Grenzen Null sein. Das ist soweit in Ordnung. Wir können die Variation immer so definieren, wie wir wollen. Der Punkt ist nur, dass es am Ende des Tages die richtigen Bewegungsgleichungen ausspuckt. Aber meine Verwirrung liegt darin, dass dies das System im Allgemeinen nicht übermäßig einschränkt. Wenn wir alle Positionen und Impulse sowohl zum Anfangs- als auch zum Endzeitpunkt spezifizieren, könnte der erforderliche Pfad zum Verbinden dieser Punkte im Phasenraum nicht nicht-newtonsch sein? Spielt dies nur eine Rolle, wenn Sie tatsächlich versuchen, das Prinzip der stationären Aktion zu verwenden, um die Pfade zu finden, anstatt es nur zum Finden der Bewegungsgleichungen zu verwenden?

Antworten (1)

Modifiziertes Hamilton-Prinzip, das ein System durch zu viele Randbedingungen überfordert

QMechaniker · Answer 1

Das sind sehr gute Fragen. Ref. 1 & 2 sind in diesen Fragen nicht ganz konsistent.

Lassen Sie uns die Situation analysieren. Im Allgemeinen liegt eine Hamiltonsche Version des Prinzips der stationären Wirkung vor

$\begin{matrix} (1) & S_{H} [z] = \int_{t_{i}}^{t_{f}} d t L_{H} (z, \dot{z}, t), \end{matrix}$
bei dem die $2n$ -dimensionaler Phasenraum hat (nicht notwendigerweise kanonische) Koordinaten $(z^1,\ldots,z^{2n})$ . Seit der $2n$ EL-Gleichungen sollten ODEs erster Ordnung (im Gegensatz zu höheren Ordnungen) sein , der Integrand $\begin{matrix} (2) & L_{H} (z, \dot{z}, T) = \sum_{ICH = 1}^{2 N} A_{ICH} (z, T) {\dot{z}}^{ICH} + B (z, T) \end{matrix}$ $L_H(z,\dot{z},t)~=~\sum_{I=1}^{2n}A_I(z,t)\dot{z}^I+B(z,t)\tag{2}$ muss eine affine Funktion von sein $\dot{z}$ . Die infinitesimale Variation der Hamiltonschen Wirkung $S_H$ ist von der Form $\begin{matrix} (3) & δ S_{H} = Massenbedingungen + Grenzbegriffe, \end{matrix}$ $\delta S_H ~=~ \text{bulk-terms} ~+~ \text{boundary-terms},\tag{3}$ Wo $\begin{matrix} (4) & Massenbedingungen = \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T \sum_{ICH = 1}^{2 N} \frac{δ S_{H}}{δ z^{ICH}} δ z^{ICH} \end{matrix}$ $\text{bulk-terms}~=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt ~\sum_{I=1}^{2n}\frac{\delta S_H}{\delta z^I}\delta z^I \tag{4}$ erbringen die Hamilton-Gleichungen, und wo $\begin{matrix} (5) & Grenzbegriffe = {[\sum_{ICH = 1}^{2 N} \frac{\partial L_{H}}{\partial {\dot{z}}^{ICH}} δ z^{ICH}]}_{T = T_{ich}}^{T = T_{F}} = 0 \end{matrix}$ $\text{boundary-terms}~=~\left[\sum_{I=1}^{2n}\frac{\partial L_H}{\partial \dot{z}^I}\delta z^I\right]_{t=t_i}^{t=t_f}~=~0\tag{5}$ sollte wegen verschwinden $\begin{matrix} (6) & N Anfangsbedingungen u N endgültige Bedingungen. \end{matrix}$ $n \text{ initial conditions and } n \text{ final conditions.} \tag{6}$ Weil dort sind $2\times 2n=4n$ Randterme in Gl. (5) aber nur $2n$ Randbedingungen (BCs) (6) sind nicht alle affinen Integranden (2) konsistent. Diese Diskrepanz ist der Kern der Frage von OP $^1$ .
- Einige der $4n$ Randterme (5) könnten automatisch verschwinden, wenn der Integrand $L_H$ hängt nicht von allen Punktvariablen ab $(\dot{z}^1,\ldots,\dot{z}^{2n})$ .
Die verbleibenden Randterme (5) müssen von den BCs (6) getötet werden, die folgende Möglichkeiten haben:
- Essential/Dirichlet BC: $\quad z^I(t_i)~=~z^I_i\quad\text{and}\quad z^I(t_f)~=~z^I_f.$
- Natürlicher BC: $\quad \left.\frac{\partial L_H}{\partial \dot{z}^I}\right|_{t_i}~=~0\quad\text{and}\quad \left.\frac{\partial L_H}{\partial \dot{z}^I}\right|_{t_f}~=~0.$
- Kombinationen davon.
Beachten Sie, dass, wenn die verbleibenden Terme mehr als sind $2n$ , dann müssen einige der essentiellen & natürlichen BCs abhängig sein, dh eine Doppelrolle spielen $^2$ .
Lassen Sie uns nun kanonische Koordinaten verwenden
$\begin{matrix} (7) & (z^{1}, \dots, z^{2 N}) = (Q^{1}, \dots, Q^{N}; P_{1}, \dots, P_{N}) . \end{matrix}$ $(z^1,\ldots,z^{2n})~=~(q^1, \ldots, q^n; p_1,\ldots, p_n).\tag{7}$ Ref. 1 & 2 betrachten ursprünglich einen Hamiltonian Lagrangeian der Form $\begin{matrix} (8) & L_{H} = \sum_{J = 1}^{N} P_{J} {\dot{Q}}^{J} - H (Q, P, T) \end{matrix}$ $L_H~=~\sum_{j=1}^np_j\dot{q}^j-H(q,p,t)\tag{8}$ mit $2n$ Essential/Dirichlet-BCs $^3$ $\begin{matrix} (9) & Q^{J} (T_{ich}) = Q_{ich}^{J} Und Q^{J} (T_{F}) = Q_{F}^{J}, \end{matrix}$ $q^j(t_i)~=~q^j_i\qquad\text{and}\qquad q^j(t_f)~=~q^j_f, \tag{9}$ vgl. Gl. (8.65) in Lit. 1 und Gl. (43.8) in Lit. 2. Beachten Sie, dass die Hamilton-Lagrange-Funktion (8) nicht davon abhängt $\dot{p}_j$ . Wir betonen, dass die momenta $p_j$ BCs nicht erfüllen $^3$ .
Als nächstes betrachten wir kanonische Transformationen (CTs). Wenn wir davon ausgehen
$\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} \sum_{J = 1}^{N} P_{J} {\dot{Q}}^{J} - & H (Q, P, T) \\ = & \sum_{k = 1}^{N} P_{k} {\dot{Q}}^{k} - K (Q, P, T) + \frac{D F (Q, P; Q, P; T)}{D T} \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \sum_{j=1}^np_j\dot{q}^j-&H(q,p,t) \cr ~=~&\sum_{k=1}^nP_k\dot{Q}^k-K(Q,P,t)+\frac{dF(q,p;Q,P;t)}{dt} \end{align}\tag{10}$ hält off-shell, folgt über algebraische Manipulationen, dass $\begin{matrix} (11) & Hamiltons Gleichungen. und Kamiltons Gl. sind gleichwertig. \end{matrix}$ $\text{Hamilton's eqs. and Kamilton's eqs. are equivalent.} \tag{11}$ Ref. 1 & 2 wenden ein Variationsargument an, um (10) abzuleiten $\Rightarrow$ (11) falsch durch $^4$ unter der Annahme einer übervollständigen Menge von $4n$ Dirichlet-BCs.
Dennoch ist es für CTs der Typen 1-4 möglich, einen Variationsbeweis von (10) zu geben $\Rightarrow$ (11) indem man nur annimmt, dass $2n$ BC (9). In diesem verwandten Phys.SE-Beitrag wird der Beweis für Typ 1 explizit gegeben.

Verweise:

H. Goldstein, Klassische Mechanik; Abschnitte 8.5 + 9.1.
LD Landau & EM Lifshitz, Mechanik; $\S43 + \S45$ .

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$^1$ Lassen Sie uns erwähnen, dass das Pfadintegral des kohärenten Zustands berühmt ist $4n$ echte BCs, dh das System ist überbeansprucht. Mit anderen Worten, im Allgemeinen gibt es keine klassischen Pfade! Dies hängt mit der Übervollständigkeit der kohärenten Zustände zusammen, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

$^2$ Interessanterweise stellt sich dieses Problem nicht für Lagrange-Theorien, wo $4n$ BCs sind genau die richtige Nummer für $2n$ ODEs 2. Ordnung, vgl. zB dieser verwandte Phys.SE-Beitrag.

$^3$ Nachdem den Impulsvariablen im Text vor Gl. (8.71), Lit. 1 dreht sich im Text nach Gl. (8.71) und behauptet fälschlicherweise, man solle auch den Impulsvariablen BCs auferlegen! Dies würde zu einem überbeschränkten System führen, wie OP bereits angemerkt hat.

$^4$ Siehe im Text zwischen Gl. (9.7) & (9.8) in Lit. 1, und im Text unter Gl. (45.5) in Lit. 2.

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kwiley555

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QMechaniker

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