Erhaltungsladungen/Bewegungskonstanten auf und außerhalb der Schale

1. Definition: Eine Bewegungskonstante auf der Schale $F(q,p,t)$erfüllt$^1$

   $$\frac{dF}{dt}~\approx~0~\text{for all initial conditions and configurations}.\tag{1}$$ [Hier das$\approx$Symbol bedeutet Gleichheit modulo Hamiltons Bewegungsgleichungen (HEOM). Auf der Schale (in diesem Zusammenhang) bedeutet, dass die HEOM erfüllt sind.] Beachten Sie für später, dass die LHS. von Gl. (1) ist im Prinzip eine Funktion von$q$,$p$,$\dot{q}$,$\dot{p}$Und$t$.

2. Definition: Eine Off-Shell-Bewegungskonstante $F(q,p,t)$erfüllt

   $$\{F,H\}_{PB}+\frac{\partial F}{\partial t} ~\equiv~ 0 \tag{2}$$ aus der Schale.

3. Satz: Die beiden Definitionen sind äquivalent: Def. 1$\Leftrightarrow$Def. 2.

$\Leftarrow$Beweis des Satzes: Verwenden Sie HEOM.$\Box$

$\Rightarrow$Beweis des Satzes: Beachten Sie, dass die lhs. von Gl. (2) hängt nicht davon ab$\dot{q}$Und$\dot{p}$. Wenn es also mit Hilfe von HEOM Null ist, ist es auch ohne.$\Box$

Ref. 1 und 2 betonen nicht ausdrücklich, dass Gl. (1) sollte für alle Anfangsbedingungen erfüllt sein, nicht nur unter besonderen Umständen, aber dies ist unerlässlich, wenn man Äquivalenz mit Gl. (2).

4. Als wichtige Anwendung sei abschließend noch erwähnt, dass die Off-Shell-Bedingung (2) die Bedingung ist, die tatsächlich im Beweis des Satzes von Poisson (zusammen mit der Jacobi-Identität ) verwendet wird:

Satz von Poisson: Wenn$F$Und$G$Off-Shell-Bewegungskonstanten sind, dann die Poisson-Klammer$\{F,G\}_{PB}$ist eine Off-Shell-Bewegungskonstante.

5. Um ein Beispiel dafür zu sehen, was schief gehen kann, wenn Gl. (1) ist nicht für alle Anfangsbedingungen erfüllt, siehe zB meine Phys.SE-Antwort hier .

Verweise:

1. H. Goldstein, Klassische Mechanik; Gl. (9,97).

2. LD Landau & EM Lifshitz, Mechanik, Bd. 1, 1976; Gl. (42.3). [Beachten Sie, dass Ref. 2 nennt verwirrenderweise eine Bewegungskonstante für ein Bewegungsintegral. Ein Bewegungsintegral ist laut Wikipedia eine Bewegungskonstante ohne explizite Zeitabhängigkeit.]

3. PJ Olver, Anwendungen von Lügengruppen auf Differentialgleichungen, 1993; P. 264.

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$^1$Beachten Sie, dass Ref. 1 ruft eine Off-Shell-Bedingung des Formulars auf

$$\frac{dF}{dt}~\equiv ~0\tag{3}$$ ein trivialer Erhaltungssatz 2. Art. Vorausgesetzt, dass$F(q,p,t)$nicht von Zeitableitungen abhängt, kann die Bedingung (3) nur dann eintreten, wenn$F$ist eine Konstante, die unabhängig von ist$q$,$p$Und$t$.