Berechnung der symplektischen Standardraummatrix

Ich lerne, dass es eine wichtige Verbindung zwischen Hamiltonschen Formalismen und symplektischer Geometrie gibt. Es scheint, als ob die Newtonsche Mechanik auf dem sogenannten symplektischen Standardraum beschrieben wird , der gegeben ist durch:

Ω = ( 0 ICH N − ICH N 0 )

Das ist ein 2 N × 2 N Matrix, wo die ICH N 's sind Identitätsmatrizen von N × N . Die Dimension dieses Raums ist also proportional zur Anzahl der Freiheitsgrade des Systems (im Phasenraum gibt es 2 N dof).

Meine Frage ist: Wie konstruieren sie diese Matrix? Kann es neue mechanische Systeme (relativistisch, quantenmechanisch) geben, so dass diese Matrix modifiziert wird? Wie sind diese in einem solchen Fall aufgebaut?

Ich würde mich über gute Quellen freuen, um diese Art von Dingen zu studieren, da ich nur Wikipedia-Seiten und auch das Buch Mathematical Methods of Classical Mechanics von VI Arnold gefunden habe, aber ich finde es zu formell und schwer zu befolgen.

Antworten (1)

  1. Die geometrische Umgebung für eine Hamiltonsche Theorie wird oft als a angenommen 2 N -dimensionale reelle symplektische Mannigfaltigkeit ( M , ω ) , Wo ω ist eine geschlossene nicht entartete reelle 2-Form.

  2. In einer Koordinatennachbarschaft U , die 2-Form ω ist gegeben als

    (1) ω | U   =   1 2 ∑ ICH , J = 1 2 N ω ICH J ( z )   D z ICH ∧ D z J ,
    Wo ω ICH J = − ω J ICH ist eine nicht entartete antisymmetrische reelle Matrix.

  3. Die inverse Matrix

    (2) ( ω − 1 ) ICH J   =   { z ICH , z J } P B
    führt zu einer Poisson-Klammer .

  4. Der Satz von Darboux besagt, dass es lokal (in einer ausreichend kleinen offenen Nachbarschaft U ) existieren Darboux/kanonische Koordinaten

    (3) z ICH   =   ( Q 1 , … , Q N , P 1 , … , P N ) ,
    Wo ω ICH J steht auf dem Formular
    (4) ω   =   [ 0 N × N − 1 N × N 1 N × N 0 N × N ] ,
    oder gleichwertig,
    (5) ω | U   =   ∑ ich = 1 N D P ich ∧ D Q ich .

  5. Es kann hilfreich sein zu beachten, dass man eine nicht entartete antisymmetrische reelle Matrix nicht in einem reellen Vektorraum diagonalisieren kann (weil die Eigenwerte imaginär sind), daher ist die kanonische Form (4) in gewissem Sinne die beste, auf die man hoffen kann bis zu Zeichenkonventionen und koordinieren Permutationen.

danke für deine antwort, also ω und seine Umkehrung hängt nur von den Koordinaten ab? deshalb hat die Standardbasis eine solche Form, weil man immer Darboux-Koordinaten berücksichtigt?
↑ Ja ja.
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