Warum geschlossen in der Definition einer symplektischen Struktur?

Zunächst einige Begrifflichkeiten:

1. Eine nicht entartete 2-Form$\omega$wird als fast symplektische Struktur bezeichnet .

2. Eine geschlossene 2-Form$\omega$wird oft als präsymplektische Struktur bezeichnet.

3. Wenn die 2-Form$\omega$sowohl nicht entartet als auch abgeschlossen ist, wird es zu einer symplektischen Struktur.

Im nicht entarteten Fall die Geschlossenheitsbedingung

$$\mathrm{d}\omega~=~0\tag{C}$$ entspricht der Jacobi-Identität (JI) für die entsprechende Poisson - Klammer (PB). Mit anderen Worten würde umgekehrt eine Verletzung der Geschlossenheitsbedingung (C) eine Verletzung der JI bedeuten.

Darüber hinaus ist im nicht entarteten Fall die Geschlossenheitsbedingung (C) (oder äquivalent die JI) die Integrierbarkeitsbedingung, die die lokale Existenz von Darboux-Koordinaten (auch bekannt als kanonische Koordinaten ) sicherstellt, vgl. Satz von Darboux . Umgekehrt koordiniert die Existenz von Darboux in einer lokalen Nachbarschaft$U$impliziert die Geschlossenheitsbedingung (C) in dieser Nachbarschaft.

Für weitere Informationen siehe zB auch Wiki pe dia$^1$; this , this und this verwandte SE-Beiträge; und Links darin.

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$^1$ Wikipedia (August 2015) hat einen kurzen Abschnitt über Motivationen, die sich aus der Hamiltonschen Mechanik ergeben, vgl. obiger Kommentar von ACuriousMind. Wikipedia behauptet das

$$\mathrm{d}H(V_H)~\equiv~\omega(V_H,V_H)~=~0\qquad\text{and}\qquad 0~=~{\cal L}_{V_H}\omega~\equiv~i_{V_H}\mathrm{d}\omega.$$ Nehmen Sie das als nächstes an$\omega$ist nicht entartet. Um das Argument von Wikipedia zu vervollständigen und das (punktweise) abzuleiten$\omega$(i) alternierend und (ii) geschlossen ist, beachten Sie, dass das Hamiltonsche Vektorfeld$V_H$(Differential$\mathrm{d}H$) muss alle Richtungen im Tangenten- (Kotangens-)Raum des Punktes prüfen . Dies kann durch Wahl des Hamilton-Generators erreicht werden$H$In$2n$verschiedene Wege.$\Box$