Sind Poisson-Klammern zweiter Klasse unabhängig von den kanonischen Koordinaten?

Ihre Constraint-Matrix$C_{NM} = \{\chi_{N}, \chi_{M}\}_{P} \ $ist im gesamten Phasenraum definiert und überall invertierbar, aber es gibt keinen Grund dafür, dass es konstant ist.

Der vielleicht einfachste Weg, um zu sehen, dass die Dirac-Klammer der Jacobi-Identität gehorcht, besteht darin, festzustellen, dass die Jacobi-Identität für den Fall von Poisson-Klammern gilt, weil die symplektische Form geschlossen ist. Wenn$M$ist der Phasenraum und wir betrachten die Untermannigfaltigkeit$M_s \subset M$ausgewählt, indem die Constains zweiter Klasse auferlegt werden, dann ist die Form, die die Dirac-Klammer definiert, der Rückzug der symplektischen Form über die Einbettung$M_s \hookrightarrow M$und ist daher auch geschlossen.

Gegeben ein$2n$-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit$(M,\omega)$mit entsprechender Poisson-Klammer

$$\{\cdot,\cdot\}_{PB}~:~ C^{\infty}(M)\times C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M),$$

und physikalische Untermannigfaltigkeit

$$\Sigma~:=~\{ z\in M ~|~ \chi^{1}(z)~=~0, \ldots,\chi^{2m}(z)~=~0 \}~\subseteq~ M$$

definiert durch eine Menge von$2m$(der Einfachheit halber global definierte) Nebenbedingungen zweiter Klasse$\chi^1$,$\ldots$,$\chi^{2m}$. Hier$m\leq n$. Die Bedingung zweiter Klasse ist äquivalent zu der der Matrix

$$\Delta^{ab}~:=~\{ \chi^{a} ,\chi^{b}\}_{PB}$$

auf den physikalischen Unterraum beschränkt (und daher in einer offenen Umgebung).$\Sigma$ist eine invertierbare Matrix. Um die Frage von OP zu beantworten, die Matrix$\Delta^{ab}$hängt im Allgemeinen vom Punkt ab$z\in M$und insbesondere braucht sie nicht konstant zu sein. (Lasst uns hier der Einfachheit halber davon ausgehen$\Delta^{ab}$insgesamt eine invertierbare Matrix ist$M$.)

Die Dirac-Klammer

$$\{\cdot,\cdot\}_{DB}~:~ C^{\infty}(M)\times C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M),$$

ist definiert als

$$\{f,g\}_{DB} ~:=~ \{f, g\}_{PB}-\{f, \chi^{a}\}_{PB} (\Delta^{-1})_{ab}\{ \chi^{b},g\}_{PB}.$$

Die Dirac-Klammer ist eine nicht invertierbare Poisson-Rangstruktur$2(n-m)$auf der vollen Fläche$M$.

Bezüglich der Jacobi-Identität für die Dirac-Klammer

$$\{\{f,g\}_{DB},h\}_{DB} +\text{cycl.}(f,g,h) ~=~0,$$

Es ist eine ziemlich bemerkenswerte Tatsache, dass die Jacobi-Identität im gesamten Raum stark bleibt$M$ohne die Beschränkungen zweiter Klasse aufzuerlegen. Für alle physikalischen Zwecke wäre es ausreichend gewesen, wenn die Jacobi-Identität nur schwache Modulo-Zweitklausel-Bedingungen hätte, aber bemerkenswerterweise ergibt die Dirac-Konstruktion eine starke Jacobi-Identität auf dem gesamten Raum$M$.

Darüber hinaus könnte OP es interessant finden, dass Dirac selbst in Ref. 1

[...] Ich kenne keinen sauberen Weg, die Jacobi-Identität für die [Dirac-Klammer] zu beweisen. Wenn man einfach nach der Definition einsetzt und kompliziert nachrechnet, stellt man fest, dass sich alle Terme aufheben und die linke Seite gleich Null ist. [...]

Verweise:

1. PAM Dirac, Vorlesungen über Quantenmechanik, (1964) S. 42.