Nicht-holonome Nebenbedingungen in der Dirac-Bergmann-Theorie

Question

Nicht-holonome Nebenbedingungen in der Dirac-Bergmann-Theorie

Physik
Poisson-Klammern
eingeschränkte Dynamik
lagrangescher Formalismus
Hamiltonscher Formalismus

AccidentalFourierTransform

Der Dirac-Bergmann-Algorithmus isoliert effektiv die physikalischen Freiheitsgrade eines Systems, indem er von Poisson-Klammern wechselt $\{\cdot,\cdot\}_\mathrm{PB}$ zu Dirac-Klammern $\{\cdot,\cdot\}_\mathrm{D}$ .

Schneller Überblick: let $\chi_i\approx0$ seien die Einschränkungen. Das fordern wir $\chi_i=\chi_i(q,p)$ und schreibe $M_{ij}\equiv \{\chi_i,\chi_j\}_\mathrm{PB}$ für jede zweite Klassenbeschränkung. Schließlich sind die Dirac-Klammern durch gegeben $\{\cdot,\cdot\}_\mathrm{D}=\{\cdot,\cdot\}_\mathrm{PB}-\{\cdot,\chi_i\}M^{ij}\{\chi_j,\cdot\}$ .

Meine Frage : Wenn wir eine geschwindigkeitsabhängige Einschränkung haben, $\chi_0=\chi_0(q,\dot q)$ , Und $p=p(\dot q)$ nicht invertierbar ist (singuläre Legendre-Transformation), dann die Poisson-Klammer $\{\chi_0,\cdot\}_\mathrm{PB}$ ist nicht definiert. Bedeutet dies, dass es unmöglich ist, zu definieren $\{\cdot,\cdot\}_\mathrm{D}$ ?

ACuriousMind

Eine „Beschränkung“ im Sinne von Dirac-Bergmann ist eine Funktion von

q

$q$ Und

p

$p$ , etwas, das eine Begrenzungsfläche im Phasenraum "ausschneidet".

\dot{q}

$\dot{q}$ tritt nie ein, da es keine Koordinate des Phasenraums ist. Wenn Sie eine "Einschränkung" haben, hängt das davon ab

\dot{q}

$\dot{q}$ , Sie befinden sich nicht in einer Theorie über den Phasenraum.

AccidentalFourierTransform

Aber was ist, wenn wir mit einem Lagrangian und einigen Einschränkungen beginnen , die geschwindigkeitsabhängig sind? Können wir nicht zu Hamiltonianern wechseln und versuchen, diese Einschränkung dort aufzuerlegen?

ACuriousMind

Ich glaube nicht. Die eigentliche Natur der Hamilton-Beschränkungen ist, dass sie Singularitäten in der Legendre-Transformation entsprechen und auch Symmetrien der Lagrange-Funktion (Aktion) messen . Sie stammen nicht aus Lagrange-Einschränkungen.

AccidentalFourierTransform

Hamiltonsche Beschränkungen entsprechen normalerweise Legendre-Singularitäten und Eichsymmetrien, richtig. Zumindest ergibt sich dies in der Praxis ganz selbstverständlich. Aber im Prinzip könnten wir andere Beschränkungen haben, die wir aus irgendeinem Grund auferlegen möchten (auf die gleiche Weise, wie wir manchmal Beschränkungen in Lagrange-Systemen auferlegen: um die Bewegung in eine Ebene und dergleichen einzuschränken). Mein Punkt ist: Einschränkungen kommen nicht von irgendetwas Bestimmtem: Sie kommen von dem, was wir auferlegen wollen. Singularitäten und Eichsymmetrien sind eine Möglichkeit, aber wir können andere Beschränkungen auferlegen, wenn wir wollen, richtig?

ACuriousMind

Ja, aber dafür ist die Dirac-Bergmann-Methode nicht gebaut (und es gibt im Allgemeinen keine Methode, um mit willkürlich seltsamen Einschränkungen umzugehen, die Sie sich ausdenken könnten, soweit ich weiß). Wenn man von "eingeschränkter Hamilton-Mechanik" oder "Dirac-Bergmann-Rezept" spricht, meint man, dass die Einschränkungen Funktionen im Phasenraum sind.

Antworten (1)

Nicht-holonome Nebenbedingungen in der Dirac-Bergmann-Theorie

Eine „Beschränkung“ im Sinne von Dirac-Bergmann ist eine Funktion von $q$ Und $p$ , etwas, das eine Begrenzungsfläche im Phasenraum "ausschneidet". $\dot{q}$ tritt nie ein, da es keine Koordinate des Phasenraums ist. Wenn Sie eine "Einschränkung" haben, hängt das davon ab $\dot{q}$ , Sie befinden sich nicht in einer Theorie über den Phasenraum.
Aber was ist, wenn wir mit einem Lagrangian und einigen Einschränkungen beginnen , die geschwindigkeitsabhängig sind? Können wir nicht zu Hamiltonianern wechseln und versuchen, diese Einschränkung dort aufzuerlegen?
Ich glaube nicht. Die eigentliche Natur der Hamilton-Beschränkungen ist, dass sie Singularitäten in der Legendre-Transformation entsprechen und auch Symmetrien der Lagrange-Funktion (Aktion) messen . Sie stammen nicht aus Lagrange-Einschränkungen.
Hamiltonsche Beschränkungen entsprechen normalerweise Legendre-Singularitäten und Eichsymmetrien, richtig. Zumindest ergibt sich dies in der Praxis ganz selbstverständlich. Aber im Prinzip könnten wir andere Beschränkungen haben, die wir aus irgendeinem Grund auferlegen möchten (auf die gleiche Weise, wie wir manchmal Beschränkungen in Lagrange-Systemen auferlegen: um die Bewegung in eine Ebene und dergleichen einzuschränken). Mein Punkt ist: Einschränkungen kommen nicht von irgendetwas Bestimmtem: Sie kommen von dem, was wir auferlegen wollen. Singularitäten und Eichsymmetrien sind eine Möglichkeit, aber wir können andere Beschränkungen auferlegen, wenn wir wollen, richtig?
Ja, aber dafür ist die Dirac-Bergmann-Methode nicht gebaut (und es gibt im Allgemeinen keine Methode, um mit willkürlich seltsamen Einschränkungen umzugehen, die Sie sich ausdenken könnten, soweit ich weiß). Wenn man von "eingeschränkter Hamilton-Mechanik" oder "Dirac-Bergmann-Rezept" spricht, meint man, dass die Einschränkungen Funktionen im Phasenraum sind.

QMechaniker · Answer 1

Lassen Sie die Lagrange-Funktion von der Form sein

L (Q, \dot{Q}, T) = L_{0} (Q, \dot{Q}, T) + λ^{A} χ_{A} (Q, \dot{Q}, T),

$L(Q,\dot{Q},t)~=~L_0(q,\dot{q},t) + \lambda^a \chi_a (q,\dot{q},t),$

mit nicht-holonomen geschwindigkeitsabhängigen Beschränkungen $\chi_a=\chi_a (q,\dot{q},t)$ ; Lagrange-Multiplikatoren $\lambda^a$ ; und wo wir die Kurzschreibweise eingeführt haben

Q^{ICH} = {Q^{ich}; λ^{A}}, P_{ICH} = {P_{ich}; π_{A}} .

$Q^I~=~\{q^i; \lambda^a\}, \qquad P_I~=~\{p_i; \pi_a\}.$

Vorausgesetzt, die Theorie ist gut aufgestellt und widerspruchsfrei, können wir das Dirac-Bergmann-Rezept im Prinzip immer noch auf den erweiterten Konfigurationsraum von anwenden $Q^I$ -Variablen, um eine (mögliche singuläre) Legendre-Transformation durchzuführen, um den entsprechenden Hamilton-Operator zu erhalten $H(Q,P,t)$ und möglichen Nebenbedingungen erster und/oder zweiter Klasse und leiten schließlich die Dirac-Klammer im erweiterten Phasenraum ab.

Vielen Dank für die Beruhigung. Ich konnte einfach nicht glauben, dass wir mit diesen Einschränkungen im Dirac-Ansatz nicht umgehen können. Es stellt sich heraus, dass wir das können, aber es ist (für mich) alles andere als trivial. Zum Beispiel habe ich den Artikel " A Constraint Algorithm for Singular Lagrangians Constraints Nonholonomic Constraints " von de Leon und de Diego auf researchgate.net/publication/… gefunden , den ich immer noch versuche zu verdauen, aber er sieht vielversprechend aus. Wie auch immer, lassen Sie mich noch einmal sagen, dass ich Ihre Beiträge wirklich schätze!

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ACuriousMind

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ACuriousMind

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