Hamiltonsche Struktur der Elektrodynamik von Chern Simons

Ich lese gerade die Übersichtsarbeit „Aspects of Chern-Simons Theory“ von Gerald Dunne

https://arxiv.org/abs/hep-th/9902115

Ab p. 17, Dunne arbeitet an der Hamiltonschen Struktur des CS-Elektromagnetismus. Wenn es keinen Maxwell-Term gibt, ist die CS-Aktion gegeben durch

$$L = \frac{1}{2} \epsilon^{ij} \dot{A}_i A_j + A_0 B\tag{70}$$

wo ich hinsetze$\kappa = 1$, und dies ist in seiner Gleichung 70 angegeben. Die konjugierten Impulse sind dann

$$\Pi^i = \frac{\partial L}{\partial \dot{A}_i} = \frac{1}{2} \epsilon^{ij} A_j\tag{73}$$

was auch in seiner Gl. (66) in Anbetracht dessen$e \rightarrow \infty$. Die zeitgleichen kanonischen Vertauschungsrelationen sind dann gegeben durch

$$\left[A_{i} (x) , \Pi^j (x) \right] = i \delta^j_i \delta^{2} (x-y)\tag{68}$$

was in seiner Gl. (68). Dann verwendet er die Definition der konjugierten Impulse und findet das heraus

$$\left[A_{i} (x) , A_j (x) \right] = i \epsilon_{ij} \delta^{2} (x-y).\tag{72}$$

Ich weiß nicht, wie ich auf dieses Ergebnis komme. Jetzt lass mich aufschreiben, was ich bekommen habe

$$\begin{equation} \left[A_{i} (x) , \Pi^j (x) \right] = \frac{1}{2} \epsilon^{jk} \left[A_{i} (x) , A_k (x) \right] \end{equation}$$

Andererseits seit$\left[A_{i} (x) , \Pi^j (x) \right] = i \delta^j_i \delta^{2} (x-y)$, wir haben

$$\begin{equation} i \delta^j_i \delta^{2} (x-y) = \frac{1}{2} \epsilon^{jk} \left[A_{i} (x) , A_k (x) \right] \end{equation}$$

Multiplizieren Sie jede Seite mit$2 \epsilon_{jm}$und verwenden$\epsilon^{jm} \epsilon_{jn} = \delta^m_n$, erhalte ich

$$\begin{equation} \left[A_{i} (x) , A_j (x) \right] = 2 i \epsilon_{ij} \delta^{2} (x-y) \end{equation}$$

Anscheinend fehlt mir ein Faktor von 2, aber ich habe keine Ahnung, was ich falsch mache.