Eine offene Algebra für eine Sammlung erstklassiger Nebenbedingungen, , , ist durch die Poisson-Klammer gegeben klassisch, wo die Strukturkonstanten Funktionen der dynamischen Freiheitsgrade sind, . Bei der Quantisierung einer Eichtheorie handelt es sich um einen physikalischen Zustand muss die First-Class-Bedingungen erfüllen . Daran kann man leicht erkennen . In der Quantenversion der Theorie muss die Poisson-Gleichung durch eine Operator-Kommutator-Gleichung ersetzt werden. Allgemein, pendelt nicht mit . Eine Möglichkeit besteht darin, die rechte Seite der Gleichung für den Kommutator von zwei Zwangsbedingungen so zu ordnen, dass die Zwangsbedingung befindet sich im Betreiberprodukt immer rechts. Das resultierende Produkt wird jedoch aufgrund der Nichtkommutativität im Allgemeinen nicht hermitesch sein. Der Kommutator zweier hermitescher Operatoren ist immer antihermitesch. Das bedeutet also, dass die erstklassigen Constraint-Operatoren nichthermitesch sein müssen. Wenn wir wollen, dass die Constraint-Operatoren hermitesch sind, brauchen wir Wo ist eine Art Operator-Ordnung. Diese Operatorordnung wird jedoch im Allgemeinen einige Terme enthalten, die nicht vernichten im Allgemeinen, weil wird nicht immer rechts sein. Wie umgeht man das?
I) Lassen Sie uns die Frage von OP (v1) neu formulieren als
Wie kann Hermitizität für die Eichalgebra beibehalten werden
von erstklassigen Betreiberbeschränkungen , wenn die Strukturoperatoren
hängen von den Phasenraumoperatoren ab Und ?
(Beachten Sie, dass wir auf der rechten Seite von Gl. (1) den Operator links vom Bediener stehen . Dies geschieht aus rein konventionellen Gründen, um Ref zu folgen. 1. Diese Neuordnung bedeutet nur, dass wir mit physischen BHs arbeiten sollten eher als physische Kets , was eine äquivalente Formulierung ist.)
II) Unser erster Punkt ist, dass die Eichalgebraoperatoridentität (1) nur die erste in einem (möglicherweise unendlichen) Turm von Operatorkonsistenzbeziehungen ist. Beispielsweise sollten die Strukturoperatoren (2) eine Jacobi-ähnliche Operatoridentität erfüllen, die wiederum eine neue Menge höherer Strukturoperatoren beinhaltet, und so weiter.
Es stellt sich heraus, dass der systematischste Ansatz darin besteht, die Eichsymmetrie (1) im Batalin-Fradkin-Vilkovsky-Formalismus (BFV) umzuformen, der eine Verallgemeinerung der Hamilton-BRST-Methode von der Yang -Mills-Theorie auf willkürliche Erstklassigkeit ist Systeme (1), sogar sogenannte reduzierbare Eichalgebren.
Das Hauptobjekt der BFV-Theorie ist ein fermionischer BRST-Ladungsoperator
das Quadrat zu Null
Der Kürze halber müssten wir hier natürlich viele Details weglassen, aber lassen Sie uns das erwähnen Und sind Geister und Geistermomente, die Geisternummern tragen Und , bzw. Der BRST-Ladeoperator ist erforderlich, um eine Geisternummer zu haben . Die Eichalgebra (1) ist als eine der ersten Operatorbeziehungen in einem (möglicherweise unendlichen) Turm von Operatorbeziehungen kodiert, die in der Nullpotenzbedingung (4) verborgen sind.
Das Ergebnis ist, dass die Einheitlichkeit der Theorie im Wesentlichen dadurch implementiert wird, dass (neben anderen Bedingungen) Hermitizität der BRST-Ladung gefordert wird
Gl. (5) diktiert weitgehend, welche Art von Hermitizitäts-/Realitätsstruktur man dem System auferlegen sollte. Im Allgemeinen stehen diese Hermitizitäts-/Realitätsstrukturbedingungen in Wechselbeziehung zwischen den erstklassigen Operatorbeschränkungen , die Strukturoperatoren (2), die höheren Strukturoperatoren usw., vgl. Ref. 1.
Verweise:
Wir werden Feinheiten mit unbegrenzten Operatoren , Domänen, selbstadjungierten Erweiterungen usw. in dieser Antwort ignorieren.
Eine semantische Randbemerkung: Der Begriff einer offenen Eichalgebra ist traditionell ein Begriff im Lagrange-Formalismus, wo die Eichalgebra dann von der Schale gebrochen wird. Im Allgemeinen ist es in der Hamiltonschen Sprache weniger einfach zu identifizieren, ob ein Eichsystem (1) einer offenen Eichalgebra im Lagrange-Formalismus entspricht oder nicht.
Der BFV-Formalismus wurde seitdem weiterentwickelt, um mit Nebenbedingungen zweiter Klasse umzugehen.
Erweiterungen von mit anderen Operator-Ordnungen (Weyl-Ordnung, Wick-Ordnung usw.) im Geistersektor sind möglich, siehe z. B. Abschnitt 6 in Lit. 1 für weitere Details. Der BRST-Ladeoperator darf sich grundsätzlich darauf verlassen .
Die richtige Antwort verwendet BRST. Zusamenfassend, ist im Allgemeinen nichthermitesch. Lassen Sie mich erklären. In BRST ergänzen wir die Eich- und Materiefelder mit Geisterfeldern , die die kanonischen Antikommutierungsrelationen erfüllen Und . Außerdem müssen beide Geisterfelder hermitesch sein. Das bedeutet, dass der Geistersektor eine unbestimmte Norm haben muss. Definieren Sie den Operator für die gesamte Geisterzahl als . Es gibt einen fermionischen Operator mit Geisternummer , ist hermitesch und quadratisch nilpotent .
Expandieren als
Ein physikalischer Zustand erfüllt . Wenn dieser Zustand eine Geisterzahl von null hat, reduziert sich dies auf die Bedingung erster Klasse .
Es ist interessant, den Sonderfall der Quantengravitation im ADM-Formalismus zu beobachten. Dort haben wir Hamilton-Beschränkungen und Diffeomorphismus-Beschränkungen, und sie bilden eine offene Algebra. Wenn wir den erweiterten Hamilton-Operator definieren als Wo ist der Geisteroperator, der Zeitdiffeomorphismen am räumlichen Punkt zugeordnet ist , dann ist der erweiterte Hamiltonoperator nichthermitesch! Ersetzen Sie es durch Wo ein messgerätefixierender Lapser Field Operator ist, ändert an dieser Tatsache überhaupt nichts.
Die gegebenen Antworten laufen im Grunde darauf hinaus, die Hermitizitätsbedingung fallen zu lassen . OK. Sagen wir klassisch, die Poisson-Klammer geht so , und nach der Quantisierung verlangen wir, dass dies übersetzt wird in mit dem Bedienerprodukt auf der rechten Seite in genau dieser Reihenfolge aufgenommen. Die Schwierigkeit besteht darin, dass der Betreiber nur ganz bestimmte Auswahlmöglichkeiten für die Produktbestellung hat kann zu dieser Form der Operatorordnung auf der rechten Seite führen. Genauer gesagt, vielleicht sollten wir es nicht so sehr als ein Rezept für die Bestellung eines Produkts betrachten, sondern vielmehr als eine bestimmte Auswahl Verformung bei der Quantisierung. Im Allgemeinen wird es für offene Algebren sehr schwierig sein, a zu finden Verformung mit dieser Eigenschaft. Wie findet man eine Deformation mit dieser Eigenschaft?