Wann funktioniert die „naive“ Quantisierung klassischer Nebenbedingungen?

Question

Wann funktioniert die „naive“ Quantisierung klassischer Nebenbedingungen?

Knzhou

Betrachten Sie die allgemein kovariante Formulierung des relativistischen Punktteilchens, wobei die Konfiguration durch angegeben wird $x^\mu(\tau)$ , Und $\tau$ ist ein willkürlicher Parameter. Im Hamiltonschen Bild die kanonischen Impulse $p_\mu$ sind gezwungen, gehorchen

P^{2} + M^{2} = 0.

$p^2 + m^2 = 0.$ Dies ist eine Zwangsbedingung erster Klasse, die einer Eichsymmetrie entspricht, und es gibt keine Zwangsbedingungen zweiter Klasse. Dann quantisieren wir mit den üblichen Poisson-Klammern, was Operatoren ergibt

[{\hat{X}}^{μ}, {\hat{P}}_{v}] = ich ℏ δ_{v}^{μ} .

$[\hat{x}^\mu, \hat{p}_\nu] = i \hbar \delta^\mu_\nu.$ In Vorlesungsunterlagen hier und hier wird behauptet, dass die Beschränkung als Operatorgleichung physikalischen Zuständen auferlegt wird

({\hat{P}}^{2} + M^{2}) | ψ ⟩ = 0.

$(\hat{p}^2 + m^2) |\psi\rangle = 0.$ Das ist sinnvoll, weil es nur besagt, dass die Wellenfunktionen der Klein-Gordan-Gleichung gehorchen, aber ich bin verwirrt darüber, warum dieses Verfahren funktioniert oder wie allgemein es ist. Zum Beispiel funktioniert es sicherlich nicht für QED in Lorenz-Spur, weil imposant

\partial_{μ} A^{μ} | Ψ ⟩ = 0

$\partial_\mu A^\mu | \Psi \rangle = 0$ ist viel zu streng. Kann jemand erklären, warum erstklassige Einschränkungen durch die obige Methode auferlegt werden können? Wie oft funktioniert das und warum funktioniert das nicht für QED? (Ich kann mir vorstellen, dass es hier eine Menge zu sagen gibt, da es viele sehr leistungsfähige Quantisierungsmethoden gibt, aber ich hoffe, dass es etwas relativ Elementares gibt, das meine Verwirrung beseitigen kann.)

Slereah

\partial^{μ} A_{μ} | Ψ ⟩ = 0

$\partial^\mu A_\mu |\Psi\rangle = 0$ entspricht der Gupta-Bleuler-Quantisierungsmethode für QED, funktioniert also teilweise, ja.

Knzhou

@Slereah Ich dachte, der Gupta-Bleuler-Zustand wäre

⟨ Ψ | \partial^{μ} A_{μ} | Ψ^{'} ⟩

$\langle \Psi| \partial^\mu A_\mu |\Psi' \rangle$ .

Slereah

Da dies für alle Staaten gilt

Ψ, Ψ^{'}

$\Psi, \Psi'$ und das Skalarprodukt positiv definit ist, bedeutet dies, dass

\partial^{μ} A_{μ} | Ψ ⟩ = 0

$\partial^\mu A_\mu |\Psi\rangle = 0$ .

Knzhou

@Slereah Aber das Problem, das Gupta-Bleuler in erster Linie zu beheben versucht, ist, dass das innere Produkt aufgrund der unphysikalischen Zustände nicht positiv bestimmt ist!

DanielC

Kurz gesagt, eine „naive“ Quantisierung funktioniert nie. Ich fordere Sie auf, die einzige Autorität zu diesem Thema zu lesen, das Buch von Marc Henneaux, Kapitel 13.

Knzhou

@DanielC Ich habe das erste Stück von Henneaux gelesen, aber das Buch ist ein bisschen entmutigend. Ich würde mich über eine Zusammenfassung oder einen einfachen Überblick über die damit verbundenen Probleme freuen!

AccidentalFourierTransform

@Slereah Gupta-Bleuler liest

(\partial^{μ} A_{μ})^{+} | Ψ ⟩ = 0

$(\partial^\mu A_\mu)^+ |\Psi\rangle = 0$ , Wo "

+

$+$ " bedeutet, den positiven Frequenzanteil zu nehmen.

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Wann funktioniert die „naive“ Quantisierung klassischer Nebenbedingungen?

$\partial^\mu A_\mu |\Psi\rangle = 0$ entspricht der Gupta-Bleuler-Quantisierungsmethode für QED, funktioniert also teilweise, ja.
@Slereah Ich dachte, der Gupta-Bleuler-Zustand wäre $\langle \Psi| \partial^\mu A_\mu |\Psi' \rangle$ .
Da dies für alle Staaten gilt $\Psi, \Psi'$ und das Skalarprodukt positiv definit ist, bedeutet dies, dass $\partial^\mu A_\mu |\Psi\rangle = 0$ .
@Slereah Aber das Problem, das Gupta-Bleuler in erster Linie zu beheben versucht, ist, dass das innere Produkt aufgrund der unphysikalischen Zustände nicht positiv bestimmt ist!
Kurz gesagt, eine „naive“ Quantisierung funktioniert nie. Ich fordere Sie auf, die einzige Autorität zu diesem Thema zu lesen, das Buch von Marc Henneaux, Kapitel 13.
@DanielC Ich habe das erste Stück von Henneaux gelesen, aber das Buch ist ein bisschen entmutigend. Ich würde mich über eine Zusammenfassung oder einen einfachen Überblick über die damit verbundenen Probleme freuen!
@Slereah Gupta-Bleuler liest $(\partial^\mu A_\mu)^+ |\Psi\rangle = 0$ , Wo " $+$ " bedeutet, den positiven Frequenzanteil zu nehmen.

Alexander Nelson · Answer 1

Dies ist im Grunde die Dirac-Quantisierung eingeschränkter Systeme (im Gegensatz zur reduzierten Phasenraum-Quantisierung). Die Dirac-Quantisierung beträgt:

Wandle die Beschränkungen in Operatoren um $C\to\widehat{C}$ ,
darauf bestehen, dass physikalische Zustände im Kern der Constraint-Operatoren leben $\mathcal{H}_{\text{phys}} = \ker(\widehat{C})$ .

(Bei mehreren Einschränkungen leben die physikalischen Zustände im Schnittpunkt der Kerne $\mathcal{H}_{\text{phys}} = \ker(\widehat{C}_{1})\cap\dots\cap\ker(\widehat{C}_{n})$ , dh physikalische Zustände müssen allen Beschränkungen gehorchen.)

Die Quantisierung des reduzierten Phasenraums schränkt zuerst den Phasenraum ein, indem sie die Beschränkungen erfüllt, und quantisiert dann. Wenn dies möglich ist, ist es normalerweise einfacher. (Sowohl der Dirac-Ansatz als auch der reduzierte Phasenraum-Ansatz liefern gleichwertige Ergebnisse.)

Sie stoßen auf keine ernsthaften Probleme, vorausgesetzt, Sie erleben keine der üblichen Mehrdeutigkeiten bei der Reihenfolge der Operatoren bei der Quantisierung der Einschränkungen ... vorausgesetzt, die Analyse der Einschränkungen wurde vollständig durchgeführt (dh Sie haben alle Einschränkungen gefunden usw.) .

In der Allgemeinen Relativitätstheorie beinhaltet die Hamilton-Bedingung bekanntermaßen einen Term quadratisch in Impulsen, der nicht naiv quantisiert werden kann, ohne einen mathematisch nicht wohldefinierten Operator zu erzeugen.

Weitere Informationen zur Quantisierung von Einschränkungen finden Sie in Henneaux und Teitelboims Quantization of Gauge Systems .

Frage: Warum wird das beim Elektromagnetismus nicht gemacht?

Antwort: Sie können es im Elektromagnetismus tun, aber Sie müssen vorsichtig mit den Einschränkungen sein, die Sie implementieren. Brian Hatfields Quantum Field Theory of Point Particles and Strings diskutiert die EM-Situation, indem er sorgfältig die Freiheitsgrade zählt, die durch verschiedene Einschränkungen usw. getötet werden.

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Knzhou

Slereah

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DanielC

Knzhou

AccidentalFourierTransform

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Alexander Nelson

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