Nicht-relativistische QFT-Lagrangian für Fermionen

Nehmen Sie den gewöhnlichen Hamilton-Operator aus der nicht-relativistischen Quantenmechanik, ausgedrückt durch die Fermi-Felder ψ ( X ) Und ψ † ( X ) (abgeleitet z. B. von AL Fetter und D. Walecka in Quantum Theory of Many-particle Systems, Seite 19):

H ^   =   ∫ ψ ^ † ( X ) T ( X ) ψ ^ ( X ) D 3 X
(2.4) + 1 2 ∬ ψ ^ † ( X ) ψ ^ † ( X ' ) v ( X , X ' ) ψ ^ ( X ' ) ψ ^ ( X ) D 3 X D 3 X '

Das Feld ψ ( X ) Und Π ( X ) = ich ψ † ( X ) ( ℏ = 1 ) erfüllen die üblichen kanonischen Quantisierungsbeziehungen, aber wenn ich versuche, einen Lagrange zu erstellen als:

L = ∫ Π ( X ) D T ψ ( X ) D X − H .

Es stellt sich heraus, denn:

D T ψ ( X ) = − ich T ( X ) ψ ( X ) − ich ∫ ψ † ( X ) v ( X , X ' ) ψ ( X ' ) ψ ( X ) D X ' .

Wenn ich beide Ausdrücke kombiniere, ergibt sich der Lagrange-Operator zu Null (ein Beweis der letzten Gleichung findet sich in Greiner's Field Quantization , Kapitel 3, er kann abgeleitet werden mit [ A , B C ] = [ A , B ] ∓ C ± B [ A , C ] ∓ ).

Meine Fragen sind:

  1. Was ist falsch an dieser Ableitung?

(Greiner schafft es, den Hamilton-Operator aus dem Lagrange-Operator zu bekommen, aber er macht einige Integrationen durch Teile, die er als offensichtlich angibt, die aber für mich einen zusätzlichen Begriff haben sollten.)

  1. Wie können Sie ableiten
    δ H δ ψ = − D T Π
    vom vorherigen Hamiltonian? Aus diesem Ausdruck können die Euler-Lagrange-Gleichungen leicht abgeleitet werden, aber ich finde anscheinend keinen Weg, sie zu bekommen.

Antworten (2)

Kommentar zur Frage (v4):

  1. Klassisch lautet die Lagrangedichte für ein Fermionensystem

    (A) L   =   ∫ D 3 X   ich ψ † ψ ˙ − H .

  2. Die Legendre-Transformation vom Lagrange- zum Hamilton-Formalismus ist aus mindestens drei Gründen schwierig:

    • Die traditionelle Dirac-Bergmann-Analyse führt zu Einschränkungen . Siehe zB meine Phys.SE-Antworten hier und hier .
    • Bei der Differenzierung bzgl. Grassmann-ungerade Felder muss man differenzieren δ L δ ψ von links und Differenzierung δ R δ ψ von rechts. Siehe zB meine Phys.SE-Antwort hier oder B. De Witt, Supermanifolds.
    • Wie kann man behandeln ψ Und ψ † als unabhängige Variablen, wenn sie hermitesch konjugiert sind? Die Auflösung ist ähnlich wie in diesem Phys.SE-Beitrag.

  3. Die zeitgleiche Super-Poisson-Klammer lautet

    (B) { ψ ( X , T ) , ψ † ( j , T ) } P B   =   − ich δ 3 ( X − j )   =   { ψ † ( X , T ) , ψ ( j , T ) } P B ,
    und andere grundlegende Super-Poisson-Klammern verschwinden.

  4. Aufgrund des QM- Korrespondenzprinzips werden die kanonischen Antikommutierungsrelationen (CARs) mit den Super-Poisson-Klammern (5) multipliziert ich ℏ :

    (C) { ψ ^ ( X , T ) , ψ ^ † ( j , T ) } +   =   ℏ δ 3 ( X − j ) 1 ^   =   { ψ ^ † ( X , T ) , ψ ^ ( j , T ) } + ,
    und andere CARs verschwinden.

  5. Hamiltons Gleichungen lauten

    (D) ψ ˙   ≈   { ψ , H } P B   = ( B )   − ich δ L H δ ψ † , ψ ˙ †   ≈   { ψ † , H } P B   = ( B )   − ich δ L H δ ψ .

  6. Heisenberg-Bewegungsgleichungen gelesen

    (E) ich ℏ ∂ T ψ ^   ≈   [ ψ ^ , H ^ ] , ich ℏ ∂ T ψ ^ †   ≈   [ ψ ^ † , H ^ ] .

Danke für die Klarstellung. Ich habe jedoch zwei Fragen zu Ihrer Antwort: 1) Warum ist der Lagrangian so, wie Sie ihn ausgedrückt haben, und nicht so, wie ich es getan habe? Das Feld und seine Transponierte erfüllen keine kanonischen Konmutationsbeziehungen (ihnen fehlt irgendwo ein i). 2) Können Sie eine Referenz zu Punkt 2 angeben? Ich interessiere mich für eine formale Definition von Differenzierung von links und Differenzierung von rechts, da dies ein problematisches Konzept bei der Behandlung dieses Themas zu sein schien.
Ich habe die Antwort aktualisiert.
Danke, ich werde mir die Referenzen ansehen, um zu sehen, ob ich etwas klar bekomme. Übrigens wurde der Titel bearbeitet, um zu sagen, dass dies für Fermionen gilt, aber ich kann nicht verstehen, warum meine Frage nicht auch für Bosonen gelten würde.
@recicle: Es scheint, dass der Beitrag aus verschiedenen Gründen zu breit werden würde, wenn er auch Bosonen enthalten würde.

Bezüglich Frage 2, in Weinbergs The Quantum Theory of Fields, Seite 295, definiert der Autor die funktionale Ableitung einer beliebigen bosonischen Funktion F [ Q , P ] :

δ F [ Q , P ] δ Q = ich [ P , F [ Q , P ] ]
δ F [ Q , P ] δ P = ich [ F [ Q , P ] , Q ]

Wo Q , P sind ein Paar von Operatoren, die kanonische Konmutationsbeziehungen erfüllen. Wenn das tatsächlich der Fall ist, folgt daraus direkt das Ergebnis zu Frage 2. Weinberg sagt, dass diese Definition durch das Ergebnis motiviert ist, dass, wenn F [ Q , P ] steht geschrieben "mit allen Q s links von allen P s" dann:

δ F [ Q , P ] = ∫ D 3 X ( δ Q δ F [ Q , P ] δ Q + δ F [ Q , P ] δ P δ P )

Ich weiß nicht viel über funktionale Differenzierung, und ich habe es nicht geschafft, von dieser Gleichung zu den beiden vorherigen zu gelangen. Wenn jemand das erklären kann, löst es Frage zwei.

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