Viererdivergenz und Legendre-Transformation

Betrachten Sie als Studienfall die folgende Lagrange-Funktion für ein linkshändiges Weyl-Feld$\chi \in \mathbb{C}^{2}$:

$$\mathcal{L} = \chi^{\dagger} \mathrm{i} \overline{\sigma}^{\rho} \partial_{\rho} \chi$$

Wo$\overline{\sigma}^{\rho} \equiv (1_{2},-\sigma^{i})$, mit$\sigma^{i}$die Standard-Pauli-Matrizen. Den entsprechenden Hamiltonoperator (Dichte) erhält man wie üblich durch eine Legendre-Transformation [mit$a$Läuft natürlich über die beiden Komponenten$\chi$]:

$$\mathcal{H} = \mathcal{L}\frac{\overleftarrow{\partial }}{\partial \dot{\chi^{a}}}\dot{\chi^{a}}-\mathcal{L} = \mathrm{i} \chi_{a} ^{\dagger }\dot{\chi}^{a}-\mathcal{L},$$

was korrekt einen Hamiltonian ergibt, der keine Zeitableitungen enthält:$\mathcal{H} = -\chi^{\dagger} \mathrm{i} \overline{\sigma}^{i} \partial_{i} \chi.$Betrachten Sie nun die obige Lagrange-Funktion, ergänzt um die Vierer-Divergenz$-\frac{\mathrm{i}}{2}\partial _{\rho }\left( \chi ^{\dagger } \overline{\sigma }^{\rho }\chi \right)$um es auf die folgende explizit hermitesche Form zu bringen:

$$\mathcal{L}'=\frac{\mathrm{i}}{2}\left[ \chi ^{\dagger }\overline{\sigma } ^{\rho }\partial _{\rho }\chi -\left( \partial _{\rho }\chi \right) ^{\dagger }\overline{\sigma }^{\rho }\chi \right];$$

und betrachten den folgenden Ansatz für den zugehörigen Hamiltonoperator:

$$\mathcal{H}' = \mathcal{L}'\frac{\overleftarrow{\partial }}{\partial \dot{\chi }^{a}}\dot{\chi}^{a}+\mathcal{L}'\frac{\overleftarrow{\partial }}{\partial \left( \dot{\chi}^{a}\right) ^{\ast }}\left( \dot{\chi}^{a}\right) ^{\ast }- \mathcal{L}' = \frac{\mathrm{i}}{2}\chi ^{\dagger }\dot{\chi}^{a}-\frac{\mathrm{i}}{2} \chi _{a}\left( \dot{\chi}^{a}\right) ^{\ast }-\mathcal{L}'.$$

Beachten Sie, dass das Minuszeichen des zweiten Terms durch die Weitergabe der Ableitung von rechts unter Verwendung der Antikommutativität entsteht. Anders als im vorigen Fall hier$\mathcal{H}'$enthält nur dann keine Zeitableitungen, wenn für den zweiten Term die Relation$\frac{\mathrm{i}}{2} \chi _{a}\left( \dot{\chi}^{a}\right) ^{\ast } = -\frac{\mathrm{i}}{2} \left( \dot{\chi}^{a}\right) ^{\ast } \chi _{a}$wird angewandt.

Auf der klassischen Ebene, wo die Komponenten von$\chi$sind Grassmann-geschätzt,$\chi$Da es sich um ein Spinorfeld handelt, ist eine solche Beziehung natürlich voll gültig, aber ich würde mich wohler fühlen, wenn die Zeitableitungen sofort herausfallen würden. Ist das möglich? Und wenn ja, wie sollte dann der obige Ansatz für die Legrendre-Transformation modifiziert werden?